رائز — المعارف الرياضية

1. في التضمين بين مجموعات الأعداد، الترتيب الصحيح هو:

• ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ✓
• ℝ ⊂ ℚ ⊂ ℤ ⊂ ℕ
• ℤ ⊂ ℕ ⊂ ℝ ⊂ ℚ
• لا يوجد تضمين بين هذه المجموعات

التضمين الصحيح هو ℕ (الطبيعية) ⊂ ℤ (الصحيحة) ⊂ ℚ (النسبية) ⊂ ℝ (الحقيقية)، إذ كل مجموعة أوسع تحتوي السابقة.

2. حسب القسمة الإقليدية a = b×q + r، إذا كان a=17 وb=5، فإن الخارج والباقي هما:

• q=2, r=7
• q=3, r=2 ✓
• q=5, r=0
• q=17, r=5

17 = 5×3 + 2، أي الخارج q=3 والباقي r=2، مع التحقق من الشرط 0 ≤ r < b (هنا 0 ≤ 2 < 5).

3. حاصل ضرب الكسرين 2/3 × 3/5 يساوي:

• 5/8
• 6/15 غير مبسط فقط
• 2/5 ✓
• 1/2

2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5 بعد التبسيط (قسمة البسط والمقام على 3).

4. نظرية طاليس تنص على أنه إذا كان (DE) ∥ (BC) في المثلث ABC حيث D∈[AB] وE∈[AC]، فإن:

• لا علاقة تناسبية بين الأضلاع
• AD×DB = AE×EC
• AD/AB = AC/AE فقط
• AD/DB = AE/EC = DE/BC ✓

تنص نظرية طاليس على تساوي النسب: AD/DB = AE/EC = DE/BC عند وجود توازٍ بين (DE) و(BC) داخل المثلث.

5. في مثلث قائم الزاوية في C، نظرية فيثاغورس تنص على أن:

• AB² = AC² + BC² ✓
• AB = AC + BC
• AB² = AC² - BC²
• AC² = AB² + BC²

نظرية فيثاغورس: مربع الوتر (الضلع المقابل للزاوية القائمة، هنا AB) يساوي مجموع مربعي الضلعين الآخرين: AB² = AC² + BC².

6. من بين التحويلات الهندسية، "التماثل المركزي" يُعادل هندسياً:

• انسحاباً بمتجه معدوم
• دوراناً بزاوية 180° حول المركز ✓
• تحاكياً بمعامل k=2
• دوراناً بزاوية 90° فقط

التماثل المركزي هو حالة خاصة من الدوران بزاوية 180° حول نقطة المركز، وهو يحفظ الأبعاد ويعكس الاتجاه.

7. حجم الكرة التي نصف قطرها r يُحسب بالصيغة:

• π × r² × h
• 4 × π × r²
• 4/3 × π × r³ ✓
• 2 × π × r × h

حجم الكرة = 4/3 πr³، بينما مساحة سطحها الخارجي = 4πr² (الصيغة الثانية في السؤال تخص المساحة لا الحجم).

8. إذا نجح 24 تلميذاً من أصل 30 (حصلوا على أعلى من 10/20)، فإن نسبة النجاح المئوية هي:

• 75%
• 24%
• 30%
• 80% ✓

نسبة النجاح = (عدد الناجحين/المجموع) × 100 = (24/30) × 100 = 80%.