المعارف الرياضية
الحساب العددي والجبري، الهندسة المستوية والفضائية، القياس والإحصاء — الاختبار الكتابي الثاني (28%). تساعد هذه الوحدة على فهم التقويم كعملية لجمع معطيات موثوقة حول التعلم، ثم استعمالها في الدعم واتخاذ القرار وتحسين جودة التدريس.
أهداف الوحدة
- تمييز التقويم التشخيصي والتكويني والإجمالي ووظائف كل نوع.
- بناء أدوات تقويم منسجمة مع الأهداف والكفايات.
- تحليل النتائج لاستخراج حاجات الدعم والمعالجة.
- تجنب الخلط بين القياس والتنقيط والتقويم واتخاذ القرار.
يُشكّل الحساب العددي والجبري 10% من الاختبار. يشمل مجموعات الأعداد، العمليات الحسابية، المعادلات، والتناسبية.
أولاً: مجموعات الأعداد
| المجموعة | الرمز | العناصر | أمثلة |
|---|---|---|---|
| الأعداد الطبيعية | ℕ | 0, 1, 2, 3, ... | عدد التلاميذ، عدد الكتب |
| الأعداد الصحيحة | ℤ | ...-2, -1, 0, 1, 2... | درجة الحرارة، الطابق |
| الأعداد النسبية | ℚ | p/q حيث q≠0 | 2/3, -5/4, 1.5 |
| الأعداد الحقيقية | ℝ | كل الأعداد النسبية وغير النسبية | √2, π, e |
التضمين: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
ثانياً: قابلية القسمة وخصائص الأعداد
معايير القسمة الأساسية
- 2: العدد زوجي (ينتهي بـ 0,2,4,6,8)
- 3: مجموع أرقامه قابل للقسمة على 3
- 4: آخر رقمين قابلان للقسمة على 4
- 5: ينتهي بـ 0 أو 5
- 9: مجموع أرقامه قابل للقسمة على 9
القسمة الإقليدية
a = b × q + r حيث 0 ≤ r < b
مثال: 17 = 3 × 5 + 2
المقسوم = المقسوم عليه × الخارج + الباقي
القاسم المشترك الأكبر: خوارزمية إقليدس
ثالثاً: الكسور والأعداد العشرية
| العملية | القاعدة | مثال |
|---|---|---|
| الجمع/الطرح | توحيد المقام | 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12 |
| الضرب | بسط × بسط / مقام × مقام | 2/3 × 3/5 = 6/15 = 2/5 |
| القسمة | ضرب في المقلوب | 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6 |
| التحويل | ضرب على 100 أو تقسيم | 3/4 = 0.75 / 35% = 35/100 = 7/20 |
رابعاً: التناسب والتناسبية
التناسب المباشر
a/b = c/d ← الحدين المتقاطعين متساويان: a×d = b×c
مثال: إذا كان 3 أقلام = 15 درهم، فـ 7 أقلام = ؟
3/15 = 7/x → x = 35 درهم
النسبة المئوية
- t% من a = t/100 × a
- زيادة بـ t%: المبلغ × (1 + t/100)
- تخفيض بـ t%: المبلغ × (1 - t/100)
- إيجاد النسبة: (جزء/كل) × 100
خامساً: المعادلات والمتباينات
| النوع | طريقة الحل | مثال |
|---|---|---|
| معادلة من الدرجة الأولى | عزل المجهول | 3x + 5 = 14 → x = 3 |
| معادلة من الدرجة الثانية | المميز Δ = b²-4ac | x²-5x+6=0 → x=2 أو x=3 |
| جملة معادلتين | الاستبدال أو الجمع | x+y=5 و 2x-y=4 → x=3, y=2 |
| متباينة بسيطة | كالمعادلة (قلب عند ×÷ بسالب) | 2x - 3 > 7 → x > 5 |
الهندسة تُشكّل 10% من الاختبار وتشمل التحويلات الهندسية، نظرية طاليس، المثلثات، والأشكال الفضائية.
أولاً: التحويلات الهندسية
| التحويل | التعريف | الخصائص |
|---|---|---|
| الانسحاب (Translation) | كل نقطة تُحرَّك بنفس المتجه | يحفظ الأطوال والزوايا والمساحات |
| الدوران (Rotation) | دوران حول مركز بزاوية محددة | يحفظ الأبعاد. المركز هو النقطة الثابتة الوحيدة |
| التماثل المحوري (Réflexion) | مرآة محور التماثل | يحفظ الأبعاد؛ يعكس الاتجاه. المثلث متساوي الساقين |
| التماثل المركزي | مركز هو نقطة المنتصف | تدوير 180°. الصورة مساوية في القياس ومعاكسة |
| التشابه/التحاكي (Homothétie) | توسيع أو تقليص بمعامل k | يحفظ الزوايا؛ يُكبّر/يُصغّر الأطوال بمعامل |k| |
ثانياً: نظرية طاليس
البيان والصياغة
إذا كان (DE) ∥ (BC) في المثلث ABC حيث D ∈ [AB] و E ∈ [AC] فإن:
AD/DB = AE/EC = DE/BC
العكس: إذا كانت النسب متساوية فالمستقيمان (DE) و (BC) متوازيان.
ثالثاً: المثلثات — نظرية فيثاغورس
نظرية فيثاغورس
في مثلث قائم الزاوية في C:
AB² = AC² + BC²
العكس: إذا AB² = AC² + BC² فالزاوية C = 90°
الدوال المثلثية (للمثلث القائم)
- sin(Â) = المضلع المقابل / الوتر = a/c
- cos(Â) = المضلع المجاور / الوتر = b/c
- tan(Â) = المضلع المقابل / المجاور = a/b
sin²(Â) + cos²(Â) = 1
رابعاً: المضلعات والأشكال الأساسية
| الشكل | المحيط | المساحة |
|---|---|---|
| المربع (جانب a) | 4a | a² |
| المستطيل (L×l) | 2(L+l) | L×l |
| المثلث (قاعدة b، ارتفاع h) | a+b+c | ½ b×h |
| الدائرة (نصف قطر r) | 2πr | πr² |
| متوازي الأضلاع | 2(a+b) | b×h |
| شبه المنحرف | a+b+c+d | ½(b₁+b₂)×h |
خامساً: الأجسام الفضائية
| الجسم | مساحة السطح | الحجم |
|---|---|---|
| المكعب (جانب a) | 6a² | a³ |
| متوازي المستطيلات | 2(lL+lh+Lh) | L×l×h |
| الاسطوانة (r, h) | 2πr(r+h) | πr²h |
| الكرة (r) | 4πr² | 4/3 πr³ |
| المخروط (r, h, l) | πr(r+l) | ⅓ πr²h |
القياس والإحصاء تُشكّل 8% من الاختبار. تشمل تحويل الوحدات، حساب المساحات والأحجام، والتمثيلات البيانية.
أولاً: تحويلات وحدات القياس
| الكمية | سلّم التحويل |
|---|---|
| الأطوال | km ← hm ← dam ← m ← dm ← cm ← mm (×10 عند النزول) |
| المساحات | km² ← hm² ← ... ← mm² (×100 عند كل خطوة) |
| الأحجام | m³ ← dm³ = L ← cm³ = mL (×1000 عند كل خطوة) |
| الكتلة | t ← kg ← hg ← dag ← g ← dg ← cg ← mg |
| الزمن | 1 ساعة = 60 دقيقة = 3600 ثانية |
ثانياً: الإحصاء الوصفي
📊 مقاييس المركزية
- الوسط الحسابي (المعدل): مجموع القيم ÷ عددها
مثال: (12+14+16+18) ÷ 4 = 15 - الوسيط (Médiane): القيمة الوسطى بعد الترتيب
- المنوال (Mode): القيمة الأكثر تكراراً
📈 مقاييس التشتت
- المدى: max - min
- التباين: متوسط مربعات الانحرافات
- الانحراف المعياري: الجذر التربيعي للتباين
ثالثاً: التمثيلات البيانية
| التمثيل | متى يُستخدم | كيف يُقرأ |
|---|---|---|
| المخطط العمودي/الأفقي | مقارنة الفئات | طول القضيب = التكرار |
| المخطط الدائري | توزيع النسب (مجموعها 100%) | زاوية القطاع = (تكرار/مجموع) × 360° |
| المخطط الخطي | التطور عبر الزمن | الميل = معدل التغيير |
| جدول التوزيع التكراري | بيانات كثيرة مجمّعة في فئات | تكرار مطلق، نسبي، مجمّع |
رابعاً: الاحتمالات (تمهيدي)
المبادئ الأساسية
- احتمال الحادثة A: P(A) = عدد النتائج المواتية ÷ عدد النتائج الممكنة
- 0 ≤ P(A) ≤ 1
- P(Ā) = 1 - P(A) حادثة مكمّلة
- P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)
- الحوادث المتنافية: P(A∪B) = P(A) + P(B)