Épreuve de spécialité de mathématiques — Concours d’accès aux CRMEF — Octobre 2024

1. \(\lim_{n\to+\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n-1}\left(\frac{k}{n}\right)^{2024}\) est égale à :

1. A\(\frac{1}{2025}\)
2. B\(\frac{2}{2025}\)
3. C\(\frac{2024}{2025}\)
4. D\(\frac{2025}{2024}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

2. La fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par \(f(x,y)=x+y+\frac{1}{xy}\) admet :

1. Aun maximum local en (1,1)
2. Bun minimum local en (1,1)
3. Cun minimum global en (2,2)
4. Dun maximum global en (2,2)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\arctan(e^x)\). Alors \(f(1)+f(-1)\) est égale à :

1. A0
2. B1
3. C2
4. D4
5. EAucun des choix proposés n'est juste

4. Soit \((X,T)\) un espace topologique tel que : \(X=\{1,a,a^2,a^3\}\) où \(a\in\mathbb{R}\) et \(T=\{\varnothing,\{a\},\{1,a\},\{a,a^3\},\{1,a,a^3\},X\}\). \(E=\{1,a\}\) et \(F=\{1,a^2\}\).

1. A\(E\) et \(F\) sont ouverts
2. B\(E\) et \(F\) sont fermés
3. C\(E\) est ouvert et \(F\) est fermé
4. D\(E\) est fermé et \(F\) est ouvert
5. EAucun des choix proposés n'est juste

5. Soit \(f\) la fonction numérique définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\ln(e^x+e^{-x})\). Le développement limité de \(f\) à l'ordre 2 en 0 est :

1. A\(\ln 2+\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\)
2. B\(\ln 3+\frac{1}{3}x^2+o(x^2)\)
3. C\(\ln 2-\frac{1}{2}x^2+o(x^2)\)
4. D\(\ln 3-\frac{1}{3}x^2+o(x^2)\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

6. Soit \(X\) une variable aléatoire suivant une loi géométrique de paramètre \(\frac{2}{3}\). \(\sum_{k=1}^{2024}P(X=k)\) est égale à :

1. A\(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2025}\)
2. B\(1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2024}\)
3. C\(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2025}\)
4. D\(1-\left(\frac{1}{3}\right)^{2024}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

7. Soient \(X\) et \(Y\) deux variables aléatoires telles que l'espérance de \(X\) est \(E(X)=5.75\) et l'espérance de \(Y\) est \(E(Y)=4.25\). Alors \(E(4X+2Y)\) est égale à :

1. A27.5
2. B29.5
3. C31.5
4. D33.5
5. EAucun des choix proposés n'est juste

8. Le reste de la division euclidienne de \(3^{45}+5^{75}\) par 7 est égale à :

1. A1
2. B2
3. C3
4. D4
5. EAucun des choix proposés n'est juste

9. La somme de la série numérique \(\sum_{n\geq0}\frac{(1+\ln2)^n}{n!}\) est égale à :

1. A\(e\ln2\)
2. B\(e\ln4\)
3. C\(2e\)
4. D\(4e\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

10. Soit \(f\) une fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\frac{x^{2n}+2}{x^{2m}+1}\) où \((m,n)\in\mathbb{N}^2\). \(f\) est-elle intégrable sur \(\mathbb{R}\) si :

1. A\(m-n\geq1\)
2. B\(0\leq m-n<1\)
3. C\(-1\leq m-n<0\)
4. D\(m-n<-1\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

11. On considère dans \(\mathbb{R}^2\) les ensembles suivants : \(E=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x^2+y^2\leq4\}\) ; \(F=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:y>2\}\) ; \(G=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:x>2\}\) et \(H=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:|x|<1\}\). Parmi les ensembles suivants, lequel est connexe ?

1. A\(E\cup F\)
2. B\(E\cup G\)
3. C\(E\cup H\)
4. D\(G\cup H\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

12. On considère la suite \(a_n=\arctan(n)\). Alors \(\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^{n}(a_{k+1}-a_{k-1})\) est égale à :

1. A\(\frac{\pi}{4}\)
2. B\(\frac{\pi}{2}\)
3. C\(\frac{3\pi}{4}\)
4. D\(\pi\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

13. \(\int_0^1\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})}\,dx\) est égale à :

1. A0
2. B\(\ln2\)
3. C\(\ln3\)
4. D\(\ln4\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

14. On considère la fonction \(f\) définie sur \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2,x>0,y>0\}\) par : \(f(x,y)=x^\alpha y^\beta\) où \(\alpha\) et \(\beta\) sont des réels non nuls. \(f\) est concave si :

1. A\(\alpha>0,\ \beta>0\) et \(\alpha+\beta\leq1\)
2. B\(\alpha>0,\ \beta>0\) et \(\alpha+\beta>1\)
3. C\(\alpha<0,\ \beta>0\) et \(\alpha+\beta>1\)
4. D\(\alpha<0,\ \beta>0\) et \(\alpha+\beta\leq1\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

15. On considère les deux éléments \(a=(\overline{0},1)\) et \(b=(\overline{1},-1)\) du groupe \((\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z},+)\). Alors :

1. A\(a\) et \(b\) sont d'ordres infinis
2. B\(a\) est d'ordre infini et \(b\) est d'ordre fini
3. C\(a\) et \(a+b\) sont d'ordres finis
4. D\(a\) est d'ordre fini et \(a+b\) est d'ordre infini
5. EAucun des choix proposés n'est juste

16. On considère la famille \(F=\{u_0,u_1,u_2\}\) de vecteurs de \(\mathbb{R}^3\), définie par \(u_0=(1,a,3)\), \(u_1=(1,1,a)\), \(u_2=(a,1,3)\) où \(a\in\mathbb{R}\). Alors la famille \(F\) est libre si et seulement si

1. A\(a\in\{-3,1\}\)
2. B\(a\in\{-3,2\}\)
3. C\(a\in\{1,2\}\)
4. D\(a\in\mathbb{R}\setminus\{-3,1,2\}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

17. Soient \(M\) et \(N\) deux matrices diagonalisables de \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\). Alors les matrices suivantes sont aussi diagonalisables :

1. A\(M+N\)
2. B\(MN\)
3. C\(e^Me^N\)
4. D\(e^{MN}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

18. On munit \(\mathbb{R}^2\) de sa topologie usuelle. On considère la fonction \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) définie par \(f(x,y)=\sqrt{\ln x-\ln y}\). L'ensemble de définition de la fonction \(f\) est :

1. Afermé non ouvert
2. Bouvert et non fermé
3. Cborné et non compact
4. Dfermé et non compact
5. EAucun des choix proposés n'est juste

19. On muni \(\mathbb{R}[X]\) du produit scalaire \(\langle P,Q\rangle=\int_0^1P(t)Q(t)\,dt\). On considère les polynômes \(R(X)=1\), \(S(X)=aX+b\) où \(a\in\mathbb{R}^*\) et \(b\in\mathbb{R}\). On \(R(X)\perp S(X)\) et \(\|R(X)\|=\|S(X)\|\) si :

1. A\(a=2\sqrt2\) et \(b=-\sqrt2\)
2. B\(a=2\) et \(b=-1\)
3. C\(a=3\) et \(b=-1\)
4. D\(a=2\sqrt3\) et \(b=-\sqrt3\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

20. Soit \(D\) le domaine \(D=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2;0<x<\ln2\ \text{et}\ 0<y<\ln(\sqrt3)\}\). L'intégrale \(\iint_D\frac{e^{x+y}\,dxdy}{(1+e^x)(1+e^{2y})}\) est égale à :

1. A\(\frac{\pi}{6}\ln\left(\frac32\right)\)
2. B\(\frac{\pi}{12}\ln\left(\frac32\right)\)
3. C\(\frac{\pi}{4}\ln\left(\frac32\right)\)
4. D\(\frac{\pi}{8}\ln\left(\frac32\right)\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

21. Soient \(X_1\) et \(X_2\) deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois binomiales respectivement \(B(n_1,p_1)\) avec \(n_1=20\) et \(p_1=\frac17\) et \(B(n_2,p_2)\) avec \(n_2=10\) et \(p_2=\frac17\). Alors la variable aléatoire \(X_1+X_2\) suit la loi binomiale de paramètres \(n\) et \(p\) avec :

1. A\(n=20\) et \(p=\frac17\)
2. B\(n=10\) et \(p=\frac27\)
3. C\(n=30\) et \(p=\frac27\)
4. D\(n=30\) et \(p=\frac17\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

22. Soient \(\left(\sum_{n\geq0}a_nx^n\right)\) et \(\left(\sum_{n\geq0}b_nx^n\right)\) deux séries entières de rayons de convergence respectives \(R_1=2\) et \(R_2=4\). Alors le rayon de convergence de la série \(\sum_{n\geq0}(a_n+b_n)x^n\) est égale à :

1. A2
2. B4
3. C6
4. D8
5. EAucun des choix proposés n'est juste

23. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes de \(\mathbb{R}[X]\) définies par : \(P(X)=X^{10}\) et \(Q(X)=X^2-4X+3\). Le reste de la division euclidienne de \(P(X)\) par \(Q(X)\) est :

1. A\(\left(\frac{3^{10}-1}{2}\right)X-\frac{3^{10}-3}{2}\)
2. B\(\left(\frac{3^{10}-1}{2}\right)X+\frac{3^{10}-3}{2}\)
3. C\(\left(\frac{2^{10}-1}{2}\right)X-\frac{2^{10}-2}{2}\)
4. D\(\left(\frac{2^{10}-1}{2}\right)X+\frac{2^{10}-2}{2}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

24. Dans \(\mathbb{R}^3\) muni du produit scalaire canonique, considérons \(u=(1,0,1)\) et \(F=\mathrm{vect}(u)\). Alors \(F^\perp=\mathrm{vect}(v,w)\) avec :

1. A\(v=(-1,0,1),\ w=(0,0,1)\)
2. B\(v=(-1,-1,0),\ w=(0,-1,0)\)
3. C\(v=(-1,0,-1),\ w=(0,-1,0)\)
4. D\(v=(1,0,-1),\ w=(0,1,0)\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

25. Soit \(f\) l'application linéaire définie de \(\mathbb{R}^3\) vers \(\mathbb{R}^2\) par : \(f(x,y,z)=(x-y+z,2x+y+2z)\)

1. A\(f\) est injectif et non surjectif
2. B\(f\) est injectif et surjectif
3. C\(f\) est surjectif et non injectif
4. D\(f\) est non injectif et non surjectif
5. EAucun des choix proposés n'est juste

26. On muni l'ensemble \(\mathbb{R}\) de la topologie \(T\) suivante : \(T=\{X\subset\mathbb{R}:C_{\mathbb{R}}^{X}\ \text{est fini ou}\ X=\varnothing\}\). Alors \(\overline{\mathbb{Z}}\) est égale à :

1. A\(\mathbb{N}\)
2. B\(\mathbb{Q}\)
3. C\(\mathbb{Z}\)
4. D\(\mathbb{R}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

27. Soit \(q\) la forme quadratique définie sur \(\mathbb{R}^2\) par : \(q(x,y)=\left(\frac54x-y\right)^2-\left(\frac34x\right)^2\). La matrice de \(q\) dans la base canonique de \(\mathbb{R}^2\) est :

1. A\(-\frac14\begin{pmatrix}-4&5\\5&-4\end{pmatrix}\)
2. B\(\frac14\begin{pmatrix}4&5\\5&4\end{pmatrix}\)
3. C\(-\frac12\begin{pmatrix}-2&5\\5&-2\end{pmatrix}\)
4. D\(\frac12\begin{pmatrix}2&5\\5&2\end{pmatrix}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

28. Dans \(\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) muni de produit scalaire \(\langle A,B\rangle=Tr({}^{t}\!AB)\), on considère l'application \(p:\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\to\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\), \(p(M)=\frac{M+{}^{t}\!M}{2}\). Alors pour tout \(M\in Im(p)\) et \(N\in ker(p)\) on a :

1. A\(\langle M,N\rangle=0\)
2. B\(\langle M,N\rangle=1\)
3. C\(\langle M,N\rangle=-1\)
4. D\(\langle M,N\rangle=-2\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

29. Soit \(E\) est un espace métrique complet et \((O_n)_{n\in\mathbb{N}}\) une suite de parties ouvertes partout denses dans \(E\). Alors \(\bigcap_{n\in\mathbb{N}}O_n\) est partout dense dans \(E\), d'après le théorème de :

1. ADini
2. BAscoli
3. CBaire
4. DStone-Weierstrass
5. EAucun des choix proposés n'est juste

30. Soit \(\sum_{n\geq1}u_n\) une série convergente. Parmi les séries suivantes, laquelle est divergente ?

1. A\(\sum_{n\geq1}\frac{1}{n^2+u_n}\)
2. B\(\sum_{n\geq1}\frac{n}{n^2+u_n}\)
3. C\(\sum_{n\geq1}\frac{1}{3^n+u_n}\)
4. D\(\sum_{n\geq1}\frac{2^n}{3^n+u_n}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

31. Soit \(f\) la fonction numérique définie par : \(\left\{\begin{array}{ll}f(x)=\frac{\ln(x)}{x^2-1}&\text{si }x>1\\f(1)=\frac12&\end{array}\right.\). Alors \(f\) est dérivable à droite en 1 et sa dérivée à droite en 1 est égale à :

1. A\(-\frac14\)
2. B\(\frac14\)
3. C\(-\frac12\)
4. D\(\frac14\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

32. Parmi les fonctions suivantes, laquelle est convexe dans \(\mathbb{R}^2\) ?

1. A\(f(x,y)=e^{x+y}\)
2. B\(f(x,y)=e^{xy}\)
3. C\(f(x,y)=e^{x^3+y}\)
4. D\(f(x,y)=e^{x^3y}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

33. Soient \((E,T)\) un espace topologique et \(A\) une partie non vide de \(E\). On désigne par \(Ext(A)\) l'ensemble des points extérieurs à \(A\). Si \(A\) est partout dense dans \(E\), alors \(Ext(A)\) est égal à :

1. A\(E\)
2. B\(\overline{A}\)
3. C\(Fr(A)\)
4. D\(C_E^A\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

34. Soit \(X\) une variable qui suit la loi normale \(N(200,15)\). Alors \(P(X>200)\) est égale

1. A\(\frac1{15}\)
2. B\(\frac2{15}\)
3. C\(\frac4{15}\)
4. D\(\frac7{15}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

35. Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé direct \((O,\vec{u},\vec{v})\), on considère la transformation \(T\) qui à chaque point \(M(z)\) on associe le point \(M(z')\) tel que : \(z'=-\overline{z}+2030\). Alors \(T\) est la composée d'une

1. Ahomothétie et d'une symétrie axiale
2. Btranslation et d'une rotation
3. Ctranslation et d'une symétrie axiale
4. Dsymétrie axiale et d'une rotation
5. EAucun des choix proposés n'est juste

36. Soit \(E\) un espace hermitien. Si \(F\) et \(G\) deux parties de \(E\). Alors \((F\cup G)^\perp\) est égale à :

1. A\(F^\perp\cup G^\perp\)
2. B\(F\cup G\)
3. C\(F\cap G\)
4. D\(F^\perp\cap G^\perp\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

37. Soit \((x_i)_{1\leq i\leq10}\) une série statistique telle que \(\sum_{i=1}^{10}x_i=120\) et \(\sum_{i=1}^{10}x_i^2=1720\). Le coefficient de variation \(C_v\) à \(10^{-1}\) près est égal à :

1. A0.4
2. B0.6
3. C0.8
4. D0.9
5. EAucun des choix proposés n'est juste

38. Soient \((E,d)\) un espace métrique compact et \(f\) une application de \(E\) dans \(E\) telle que : \(d(f(x),f(y))<d(x,y)\) pour tous \(x,y\in E\) et \(x\neq y\). Alors, le cardinal de l'ensemble des points fixes de \(f\) est égal à :

1. A0
2. B1
3. C2
4. D3
5. EAucun des choix proposés n'est juste

39. Soit \((E,\tau)\) un espace topologique. Alors

1. AToute intersection dénombrable d'éléments de \(\tau\) est un élément de \(\tau\).
2. BToute intersection finie d'éléments de \(\tau\) est un élément de \(\tau\)
3. CToute intersection quelconque d'éléments de \(\tau\) est un élément de \(\tau\).
4. DToute intersection au plus dénombrable d'éléments de \(\tau\) est un élément de \(\tau\).
5. EAucun des choix proposés n'est juste

40. Soient \(n\in\mathbb{N}\) et \(f_n\) la fonction définie sur \([1,+\infty[\) par \(f_n(x)=x^n-x-1\). Alors pour tout \(n\geq2\) il existe un unique réel \(x_n>1\) tel que \(f_n(x_n)=0\). Alors:

1. Ala suite \((x_n)_{n\geq2}\) est décroissante et \(\lim_{n\to+\infty}x_n=1\)
2. Bla suite \((x_n)_{n\geq2}\) est croissante et \(\lim_{n\to+\infty}x_n=1\)
3. Cla suite \((x_n)_{n\geq2}\) est décroissante et \(\lim_{n\to+\infty}x_n=2\)
4. Dla suite \((x_n)_{n\geq2}\) est croissante et \(\lim_{n\to+\infty}x_n=2\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

41. Soient \(a\) et \(b\) deux réels, et \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin(ax)}{x}&\text{si }x<0\\1&\text{si }x=0\\e^{bx}-x&\text{si }x>0\end{array}\right.\). Alors \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) pour:

1. A\(a=b=1\)
2. B\(a=b=-1\)
3. C\(a=-b=1\)
4. D\(a=-b=-1\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

42. Soit \((X,Y)\) un couple de deux variables aléatoires tel que: \(\forall(i,j)\in\{1,2\}^2,\ P(X=i,Y=j)=\left\{\begin{array}{ll}\frac13&\text{si }i\leq j\\0&\text{si }i>j\end{array}\right.\). L'espérance \(E(XY)\) est égale à :

1. A\(\frac23\)
2. B\(\frac43\)
3. C\(\frac53\)
4. D\(\frac73\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

43. Soient \(a\) et \(b\) deux nombres complexes non nuls. Si \(G=\{1,a,b\}\) est un sous-groupe de \((\mathbb{C}^*,\times)\). Alors :

1. A\(a^2=b\) et \(a^3=1\)
2. B\(a^2=a\) et \(a^3=1\)
3. C\(a^2=a\) et \(ab=a\)
4. D\(a^2=b\) et \(a^3=a\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

44. Le temps moyen d'attente d'un client lors d'un appel téléphonique est de 4 minutes. Alors, la probabilité pour que le temps d'attente d'un client soit supérieur à 8 minutes est égale à :

1. A\(e^{-2}\)
2. B\(e^{-3}\)
3. C\(e^{-4}\)
4. D\(e^{-8}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

45. Soient \(a_0,a_1,\ldots,a_k\) des réels deux à deux distincts. L'application \(\|\cdot\|_k:\mathbb{R}_{20}[X]\to\mathbb{R}^+\) définie par \(\|p\|_k=\sum_{i=0}^{k}|p(a_i)|\) est une norme sur \(\mathbb{R}_{20}[X]\) si et seulement si :

1. A\(10\leq k<14\)
2. B\(14\leq k<17\)
3. C\(17\leq k<20\)
4. D\(k\geq20\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

46. Soit \(E\) un espace affine de direction \(\vec{E}\). Soient \(F\) et \(G\) deux sous-espaces affines de \(E\) de directions respectives \(\vec{F}\) et \(\vec{G}\). \(F\) est faiblement parallèle à \(G\) équivaut à :

1. A\(F\subset G\)
2. B\(\vec{F}\subset\vec{G}\)
3. C\(\vec{F}\cap\vec{G}=\{0\}\)
4. D\(\vec{F}=\vec{G}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

47. Soient \(t\) une translation affine de vecteur \(2024\vec{u}\) et \(h=h(\Omega,2030)\) une homothétie affine de centre \(\Omega\) et rapport 2030. Alors \(h\circ t\) est une?

1. Atranslation affine de vecteur \(2024\vec{u}\)
2. Btranslation affine de vecteur \(-2024\vec{u}\)
3. Chomothétie affine de rapport 2030
4. Dhomothétie affine de rapport -2030
5. EAucun des choix proposés n'est juste

48. Soient \(A\) et \(B\) deux parties d'un ensemble \(E\). Alors \((A\cap B)\cup(\overline{A}\cap B)\cup(A\cap\overline{B})\cup(\overline{A}\cap\overline{B})\) est égale à

1. A\(A\cup B\)
2. B\(A\cap B\)
3. C\(\overline{A}\cup\overline{B}\)
4. D\(\overline{A}\cap\overline{B}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

49. Si \(y(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n\) est une solution de l'équation \(y''+y=0\) avec \(y(0)=0\) et \(y'(0)=1\), alors \(y(x)\) est égale à :

1. A\(\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\)
2. B\(\sum_{n\geq0}\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\)
3. C\(\sum_{n\geq0}\frac{1}{(2n+1)!}x^{2n+1}\)
4. D\(\sum_{n\geq0}\frac{1}{(2n)!}x^{2n}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

50. On considère le système \(S:\left\{\begin{array}{rcl}x+4y+9z+16t&=&1\\4x+9y+16z+25t&=&8\\9x+16y+25z+36t&=&23\end{array}\right.\) d'inconnue \((x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4\). Soit \((a,b,c,d)\) une solution du système, alors \(a+b+c+d\) est égal à :

1. A2
2. B4
3. C6
4. D8
5. EAucun des choix proposés n'est juste

51. Soit \(q\) une forme quadratique définie sur \(\mathbb{C}^3\) par : \(\forall(x_1,x_2,x_3)\in\mathbb{C}^3\quad q(x_1,x_2,x_3)=|x_1-ix_2|^2-|x_2+i\sqrt2x_3|^2+3|x_3|^2\). Alors

1. A\(q\) est dégénérée
2. B\(q\) définit un produit scalaire
3. CLa signature de \(q\) est \((2,1)\)
4. DLa signature de \(q\) est \((3,0)\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

52. Soit \(R\) la relation d'équivalence définie sur \(\mathbb{R}\) par : \(xRy\Longleftrightarrow x^2-y^2=x-y\). La classe d'équivalence de 10 est l'ensemble :

1. A\(\{8,-9\}\)
2. B\(\{-8,9\}\)
3. C\(\{-9,10\}\)
4. D\(\{-10,11\}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

53. On pose \(a=2023\) et \(b=2024\). Alors \(PGCD(a^7+b^7,(ab)^7)\) est égal à :

1. A17
2. B19
3. C23
4. D53
5. EAucun des choix proposés n'est juste

54. Dans \(\mathbb{R}[X]\) on considère le polynôme \(P(X)=2X^3-3X^2+m\) où \(m\in\mathbb{R}\). Alors le polynôme \(P\) est scindé dans \(\mathbb{R}[X]\) si :

1. A\(m<0\)
2. B\(0\leq m\leq1\)
3. C\(1<m\leq2\)
4. D\(m>2\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

55. On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}^*\times\mathbb{R}^*\) par \(f(x,y)=5x^{\frac15}y^{\frac45}\). Si pour tous \(x\) et \(y\) strictement positifs, alors \(x\frac{\partial^2f}{\partial x^2}+y\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}\) est égale à :

1. A2
2. B1
3. C0
4. D-1
5. EAucun des choix proposés n'est juste

56. Soit \(f\) la fonction périodique de période \(2\pi\), définie par : \(f(x)=x\) pour tout \(x\in]-\pi,\pi]\), alors \(\forall x\in]-\pi,\pi[,\ \sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{n}\sin(nx)\) est égal à :

1. A\(\frac{x}{2}\)
2. B\(\frac{x^2}{2}\)
3. C\(-\frac{x}{2}\)
4. D\(-\frac{x^2}{2}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

57. Soit \(F\) la fonction définie sur \(]1,+\infty[\) par \(F(x)=\int_1^{\ln x}\frac{e^{-t}}{t}\,dt\), alors \(F\) est dérivable sur \(]1,+\infty[\) et \(\forall x\in]1,+\infty[\), on a \(F'(x)\) est égale à :

1. A\(\frac{1}{x\ln x}\)
2. B\(\frac{1}{2x\ln x}\)
3. C\(\frac{1}{x^2\ln x}\)
4. D\(\frac{1}{2x^2\ln x}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

58. Soit \(F\) une partie de l'espace vectoriel normé \(\mathbb{R}^2\). On considère les propositions suivantes : \(P:\) « \(F\) est une partie connexe de \(\mathbb{R}^2\) » \(Q:\) « \(F\) est une partie connexe par arc de \(\mathbb{R}^2\) » \(R:\) « \(F\) est une partie convexe de \(\mathbb{R}^2\) » Alors on a les implications suivantes :

1. A\(R\Rightarrow Q\Rightarrow P\)
2. B\(Q\Rightarrow R\Rightarrow P\)
3. C\(R\Rightarrow P\Rightarrow Q\)
4. D\(Q\Rightarrow P\Rightarrow R\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

59. Soit \(M\in\mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(M=\begin{pmatrix}-1&1&1\\1&-1&1\\1&1&-1\end{pmatrix}\) et \(P(X)=X^2+X-2\) est un polynôme annulateur de \(M\). Alors \(M\) est inversible et la troisième ligne de la matrice \(M^{-1}\) est égal à :

1. A\(\frac12(1\ \ 1\ \ 0)\)
2. B\(\frac12(1\ \ 0\ \ 1)\)
3. C\(\frac12(-1\ \ 0\ \ -1)\)
4. D\(\frac12(-1\ \ -1\ \ 0)\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste

60. Dans \(\mathbb{R}^3\) muni de la base canonique, on considère le plan \(P=\mathrm{vect}(u_1,u_2)\) et la droite \(D=\mathrm{vect}(u_3)\) où \(u_1=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\), \(u_2=\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}\) et \(u_3=\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}\). Dans la base canonique la matrice de la projection \(p\) sur \(P\) parallèlement à \(D\) est :

1. A\(\frac12\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&2&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}\)
2. B\(\frac12\begin{pmatrix}1&0&-1\\1&1&1\\-1&0&1\end{pmatrix}\)
3. C\(\frac12\begin{pmatrix}1&1&-1\\0&1&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)
4. D\(\frac12\begin{pmatrix}1&1&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}\)
5. EAucun des choix proposés n'est juste