Correction complète — Épreuve de spécialité de mathématiques — Concours d’accès aux CRMEF — Octobre 2024

C'est une somme de Riemann : \(\frac1n\sum_{k=1}^{n-1}(\frac{k}{n})^{2024}\to\int_0^1x^{2024}\,dx=\frac1{2025}\).

Sur le domaine naturel \(xy\neq0\), \(\nabla f(1,1)=0\). La Hessienne en \((1,1)\) est \(\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}\), définie positive ; \((1,1)\) est donc un minimum local strict.

Attention sur la question : Attention sur le domaine : la formule \(x+y+\frac{1}{xy}\) n'est pas définie lorsque \(xy=0\), contrairement à l'écriture \(f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\). Le choix B est obtenu en considérant la fonction sur son domaine naturel \(\{(x,y)\in\mathbb{R}^2:xy\ne0\}\).

Pour \(t>0\), \(\arctan(t)+\arctan(1/t)=\frac{\pi}{2}\). Avec \(t=e\), on obtient \(f(1)+f(-1)=\frac{\pi}{2}\), valeur absente des choix A à D.

\(E=\{1,a\}\in T\), donc \(E\) est ouvert. Le complémentaire de \(F\) dans \(X\) est \(\{a,a^3\}\), qui appartient à \(T\) ; \(F\) est donc fermé.

\(e^x+e^{-x}=2+x^2+o(x^2)\), donc \(\ln(e^x+e^{-x})=\ln2+\ln(1+\frac{x^2}{2}+o(x^2))=\ln2+\frac{x^2}{2}+o(x^2)\).

Pour une loi géométrique de paramètre \(p=\frac23\) sur \(\mathbb{N}^*\), \(P(X>n)=(1-p)^n=(\frac13)^n\). Ainsi \(P(X\le2024)=1-(\frac13)^{2024}\).

Par linéarité de l'espérance, \(E(4X+2Y)=4E(X)+2E(Y)=4(5.75)+2(4.25)=31.5\).

Modulo 7, \(3^{45}\equiv3^3\equiv6\) et \(5^{75}\equiv5^3\equiv6\), car les puissances sont de période 6. La somme vaut \(12\equiv5\pmod7\), valeur absente des choix A à D.

\(\sum_{n\ge0}\frac{(1+\ln2)^n}{n!}=e^{1+\ln2}=2e\).

À l'infini, \(f(x)\sim x^{2n-2m}\). L'intégrabilité exige \(2n-2m<-1\), soit \(m-n>\frac12\). Comme \(m,n\) sont entiers, cela équivaut à \(m-n\ge1\).

\(E\cup H\) est connexe puisque \(E\) et \(H\) sont connexes et \(E\cap H\neq\varnothing\). Toutefois, \(E\cup F\) et \(E\cup G\) sont aussi connexes par arcs : le demi-plan \(F\) se raccorde au disque en \((0,2)\), et \(G\) en \((2,0)\).

Attention sur la question : Attention sur la formulation : ce QCM n'admet pas une réponse unique. Les ensembles proposés en A, B et C sont tous connexes par arcs. Le choix C correspond vraisemblablement à la réponse attendue, car \(E\cap H\ne\varnothing\) permet d'appliquer directement le critère usuel sur l'union de deux connexes d'intersection non vide.

La somme télescope en \(a_n+a_{n+1}-a_0-a_1\). Or \(a_n\to\frac{\pi}{2}\), \(a_0=0\) et \(a_1=\frac{\pi}{4}\), d'où \(\frac{3\pi}{4}\).

En posant \(t=\sqrt{x}\), \(dx=2t\,dt\), l'intégrale devient \(\int_0^1\frac{2}{1+t}\,dt=2\ln2=\ln4\).

La Hessienne de \(x^\alpha y^\beta\) est négative semi-définie exactement lorsque \(\alpha,\beta\ge0\) et \(\alpha+\beta\le1\). Comme \(\alpha,\beta\) sont non nuls, on a \(\alpha>0,\beta>0\).

Le second composant de \(na\) vaut \(n\), donc \(a\) est d'ordre infini. Pour \(b\), le second composant de \(nb\) vaut \(-n\), donc \(b\) est aussi d'ordre infini.

Le déterminant de la matrice ayant \(u_0,u_1,u_2\) pour colonnes vaut \((a-2)(a-1)(a+3)\). Il est non nul exactement pour \(a\notin\{-3,1,2\}\).

La diagonalisabilité n'est stable ni par somme ni par produit sans hypothèse de commutation. Par exemple \(M=\mathrm{diag}(1,-1)\) et \(N=\begin{pmatrix}1&1\\0&-1\end{pmatrix}\) sont diagonalisables, mais \(MN=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}\) ne l'est pas, et \(e^{MN}\) ne l'est pas non plus. De même, des exponentielles de matrices diagonalisables peuvent avoir un produit non diagonalisable. Aucune proposition A-D n'est générale.

Le domaine est \(\{(x,y):x\ge y>0\}\). Il n'est pas ouvert, n'est pas fermé dans \(\mathbb{R}^2\) et il est non borné ; aucune des descriptions A-D ne convient.

L'orthogonalité impose \(\frac a2+b=0\), donc \(b=-\frac a2\). L'égalité des normes donne \(\int_0^1a^2(t-\frac12)^2dt=\frac{a^2}{12}=1\), donc \(|a|=2\sqrt3\). Le choix proposé correspondant est D.

L'intégrande se sépare. \(\int_0^{\ln2}\frac{e^x}{1+e^x}dx=\ln\frac32\) et \(\int_0^{\ln\sqrt3}\frac{e^y}{1+e^{2y}}dy=\arctan(\sqrt3)-\arctan(1)=\frac{\pi}{12}\).

La somme de deux binomiales indépendantes de même paramètre \(p\) suit une binomiale dont les nombres d'essais s'additionnent : \(X_1+X_2\sim B(30,\frac17)\).

Lorsque deux séries entières ont des rayons distincts, le rayon de leur somme est le plus petit des deux. Il vaut donc \(2\).

Comme \(Q=(X-1)(X-3)\), le reste \(r(X)=aX+b\) vérifie \(r(1)=1\) et \(r(3)=3^{10}\). On obtient \(a=\frac{3^{10}-1}{2}\) et \(b=-\frac{3^{10}-3}{2}\).

\(F^\perp=\{(x,y,z):x+z=0\}\). Les deux vecteurs du choix D satisfont cette équation et sont linéairement indépendants.

La matrice de \(f\) a rang 2, égal à la dimension de \(\mathbb{R}^2\), donc \(f\) est surjective. Par le théorème du rang, son noyau a dimension \(3-2=1\), donc elle n'est pas injective.

Dans la topologie cofinie, tout ouvert non vide a un complémentaire fini. Il rencontre donc nécessairement l'ensemble infini \(\mathbb{Z}\). Ainsi \(\mathbb{Z}\) est dense et \(\overline{\mathbb{Z}}=\mathbb{R}\).

On développe \(q(x,y)=x^2-\frac52xy+y^2\). La matrice symétrique associée est \(\begin{pmatrix}1&-\frac54\\-\frac54&1\end{pmatrix}=-\frac14\begin{pmatrix}-4&5\\5&-4\end{pmatrix}\).

\(Im(p)\) est l'espace des matrices symétriques et \(ker(p)\) celui des matrices antisymétriques. Ces deux sous-espaces sont orthogonaux pour le produit scalaire de Frobenius.

C'est exactement le théorème de Baire : dans un espace métrique complet, toute intersection dénombrable d'ouverts denses est dense.

La convergence de \(\sum u_n\) implique \(u_n\to0\). Alors \(\frac{n}{n^2+u_n}\sim\frac1n\), donc B diverge. Les termes de A, C et D sont respectivement équivalents à \(\frac1{n^2}\), \(\frac1{3^n}\) et \((\frac23)^n\).

Pour \(x=1+h\), \(\frac{\ln(1+h)}{(1+h)^2-1}=\frac12-\frac12h+o(h)\). La dérivée à droite en 1 vaut donc \(-\frac12\).

Attention sur la question : Remarque éditoriale : les choix B et D sont identiques dans le sujet original. Cette répétition n'affecte pas la réponse correcte, qui est C : \(-\frac12\).

La Hessienne de \(e^{x+y}\) est \(e^{x+y}\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}\), positive semi-définie. Les autres fonctions ne sont pas convexes sur tout \(\mathbb{R}^2\).

\(Ext(A)=E\setminus\overline{A}\). Comme \(A\) est dense, \(\overline A=E\), donc \(Ext(A)=\varnothing\), valeur absente des choix A à D.

Une loi normale est symétrique par rapport à sa moyenne 200 et elle est continue. Ainsi \(P(X>200)=\frac12\), valeur absente des choix A à D.

La transformation \(z\mapsto-\overline z\) est une symétrie axiale par rapport à l'axe imaginaire ; l'ajout de 2030 est une translation. On obtient donc la composition d'une symétrie axiale et d'une translation.

Un vecteur est orthogonal à \(F\cup G\) si et seulement s'il est orthogonal à tout élément de \(F\) et à tout élément de \(G\). Donc \((F\cup G)^\perp=F^\perp\cap G^\perp\).

La moyenne est \(\bar x=12\). La variance est \(\frac{1720}{10}-12^2=28\), donc \(C_v=\frac{\sqrt{28}}{12}\approx0.441\), soit \(0.4\) à \(10^{-1}\) près.

La fonction \(x\mapsto d(x,f(x))\) atteint son minimum sur le compact \(E\). Si ce minimum était strictement positif en \(x\), alors \(d(f(x),f^2(x))<d(x,f(x))\), contradiction. Il existe donc un point fixe, et l'inégalité stricte interdit qu'il y en ait deux.

Une topologie est stable par unions arbitraires et par intersections finies. La proposition B est donc l'axiome correct.

Comme \(x_n^n=x_n+1\), on a \(f_{n+1}(x_n)=x_n^{n+1}-x_n-1=(x_n-1)(x_n+1)>0\), donc \(x_{n+1}<x_n\). La limite est \(\ge1\) et ne peut être \(>1\), sinon \(x_n^n\) divergerait alors que \(x_n+1\) resterait borné ; elle vaut 1.

La continuité à gauche en 0 impose \(a=1\). Avec \(a=1\), la dérivée à gauche vaut 0. À droite, \(\frac{e^{bx}-x-1}{x}\to b-1\), donc il faut \(b=1\).

Les couples de probabilité non nulle sont \((1,1),(1,2),(2,2)\), chacun de probabilité \(\frac13\). Ainsi \(E(XY)=\frac{1+2+4}{3}=\frac73\).

Si \(1,a,b\) sont trois éléments distincts, \(G\) est un groupe d'ordre 3, donc cyclique : \(a\) a ordre 3, \(a^3=1\), et le troisième élément est \(a^2=b\).

Attention sur la question : Attention sur la formulation : le choix A est correct si \(1\), \(a\) et \(b\) désignent trois éléments distincts, donc si \(|G|=3\). Cette condition n'est pas explicitée. Sans elle, l'ensemble \(G=\{1,a,b\}\) peut avoir moins de trois éléments et la conclusion n'est plus unique.

Sous l'hypothèse supplémentaire que le temps d'attente \(T\) suit une loi exponentielle de moyenne 4, on a \(\lambda=\frac14\) et \(P(T>8)=e^{-\lambda8}=e^{-2}\).

Attention sur la question : Attention sur les données : la seule moyenne \(E(T)=4\) ne permet pas de déterminer \(P(T>8)\). Le choix A, \(e^{-2}\), est obtenu uniquement sous l'hypothèse supplémentaire que \(T\) suit une loi exponentielle de paramètre \(\lambda=\frac14\).

Pour que \(\|p\|_k=0\) implique \(p=0\), un polynôme de degré \(\le20\) ne doit pas pouvoir s'annuler en tous les \(a_i\) sans être nul. Il faut au moins 21 points distincts : \(k+1\ge21\), soit \(k\ge20\).

Par définition, \(F\) est faiblement parallèle à \(G\) lorsque la direction de \(F\) est incluse dans celle de \(G\), c'est-à-dire \(\vec F\subset\vec G\).

La partie linéaire de \(h\circ t\) est \(2030\,I\). Toute application affine de partie linéaire \(kI\) avec \(k\neq1\) est une homothétie de rapport \(k\).

Les quatre intersections correspondent aux quatre possibilités d'appartenance ou non à \(A\) et \(B\). Leur union est l'ensemble universel \(E\), qui n'est pas proposé en A-D.

Le problème de Cauchy \(y''+y=0,\ y(0)=0,\ y'(0)=1\) a pour solution \(y=\sin x\), dont la série entière est \(\sum_{n\ge0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\).

En soustrayant la première équation de la deuxième, puis la deuxième de la troisième, on obtient \(3a+5b+7c+9d=7\) et \(5a+7b+9c+11d=15\). Leur différence donne \(2(a+b+c+d)=8\), donc la somme vaut 4.

Le changement de variables \(u_1=x_1-ix_2,\ u_2=x_2+i\sqrt2x_3,\ u_3=x_3\) est inversible et donne \(q=|u_1|^2-|u_2|^2+3|u_3|^2\). Il y a donc deux directions positives et une négative : la signature est \((2,1)\).

\(xR10\) équivaut à \(x^2-100=x-10\), soit \(x^2-x-90=0=(x-10)(x+9)\). La classe est donc \(\{-9,10\}\).

Comme \(a\) et \(b\) sont consécutifs, \(PGCD(a,b)=1\). Tout diviseur commun de \(a^7+b^7\) et de \(a^7\) divise \(b^7\), donc vaut 1, et de même avec \(b^7\). Ainsi le PGCD demandé vaut 1, absent des choix A-D.

\(P'(x)=6x(x-1)\). Le maximum local vaut \(P(0)=m\) et le minimum local \(P(1)=m-1\). Le cubic a toutes ses racines réelles, avec multiplicité, exactement lorsque \(m\ge0\) et \(m-1\le0\), soit \(0\le m\le1\).

La fonction est homogène de degré 1. L'identité d'Euler \(xf_x+yf_y=f\), dérivée par rapport à \(x\), donne \(f_x+xf_{xx}+yf_{xy}=f_x\), donc \(xf_{xx}+yf_{xy}=0\).

La série de Fourier du créneau en dents de scie vaut \(x=2\sum_{n\ge1}\frac{(-1)^{n+1}}{n}\sin(nx)\) pour \(-\pi<x<\pi\). La somme proposée vaut donc \(-\frac{x}{2}\).

Par dérivation d'une intégrale à borne variable, \(F'(x)=\frac{e^{-\ln x}}{\ln x}\cdot\frac1x=\frac{1}{x^2\ln x}\).

Toute partie convexe est connexe par arcs, puisque le segment entre deux de ses points reste dans la partie. Toute partie connexe par arcs est connexe. Donc \(R\Rightarrow Q\Rightarrow P\).

De \(M^2+M-2I=0\), on tire \(M(M+I)=2I\), donc \(M^{-1}=\frac12(M+I)\). La troisième ligne de \(M+I\) est \((1,1,0)\).

Dans la base \((u_1,u_2,u_3)\), la projection sur \(\mathrm{vect}(u_1,u_2)\) parallèlement à \(\mathrm{vect}(u_3)\) a pour matrice \(\mathrm{diag}(1,1,0)\). Le changement vers la base canonique donne \(\frac12\begin{pmatrix}1&0&-1\\-1&2&-1\\-1&0&1\end{pmatrix}\).