ديداكتيك الرياضيات — الثانوي التأهيلي
منهجية حل المسائل وسمات الطريقة الناجحة في تدريس الرياضيات بالثانوي التأهيلي، وفق التوجيهات التربوية الرسمية.
أهداف الوحدة
- معرفة المرتكزات المنهجية والديداكتيكية الرسمية لتدريس المادة.
- التمييز بين مكونات المادة ومقارباتها البيداغوجية.
- توظيف هذه المرتكزات في الإجابة عن أسئلة المباراة.
حل المسائل: صنفان من المسائل
- الصنف الأول: مسائل يتطلب حلها اختيار التلميذ لمعارف ملائمة لتأليفة سبقت دراستها من بين عدد كبير من التأليفات الممكنة (تطبيق موارد معروفة على وضعية جديدة)؛
- الصنف الثاني: مسائل يتطلب حلها ابتكار تأليفة جديدة لمعارف ومهارات واستقلالية كبيرة في التفكير، واستعمال استدلالات ظاهرياً مقبولة (raisonnements plausibles).
أربعة أهداف لاعتماد حل المسائل مدخلاً ديداكتيكياً
- للاستكشاف وبناء وتوسيع وتعميق وإدماج المعارف الرياضية (مفاهيم، خاصيات، خوارزميات، تقنيات وأساليب)؛
- لاكتساب مهارات فكرية (تنظيم، بناء، تجريد، تحليل، تركيب، تقدير، تعميم واستنتاج وتبرير)؛
- لاتخاذ مواقف إيجابية (الوعي بقدراته، احترام وجهة نظر الآخرين، الخيال الواسع)؛
- لاستعمال استراتيجيات حل المسائل المختلفة (البحث عن ضوابط مشابهة régularité، تمثيل مسألة بواسطة جدول، الاستعانة بنموذج، بناء صيغة معادلة، التصرف بكيفية عكسية à rebours).
يوصى بأن يعتمد المدرس مقاربة حل المسائل في مختلف مراحل تلقين المعارف وتنمية المهارات الرياضياتية، سواء قبل التعلم (التمهيد)، أو أثناءه (المتابعة)، أو بعده (إعادة التوظيف)، فالمسألة أداة فاعلة لا تلغي دور التمارين (التي تثبت المهارات المكتسبة)، بل تكمّله.
سمات الطريقة الناجحة في التدريس
- القدرة على بلوغ الهدف في أقل وقت وبأيسر جهد؛
- إشراك المتعلم بفعالية في مختلف خطوات استكشاف المعرفة (جعله صانعاً لتعلمه)؛
- تشجيع التلميذ على استحضار العقل والتفكير المرن والبناء والحكم المستقل؛
- التدرج في بناء المعرفة من السهل إلى الصعب، ومن البسيط إلى المعقد، ومن المعلوم إلى المجهول؛
- رصد واستغلال استعدادات ومؤهلات التلميذ الكامنة؛
- اعتماد مبدأ الإثارة والتشويق وحب الاستطلاع بدل التثبيط والجرح والتوبيخ؛
- اعتماد أساليب المناقشة والحوار وتمركز العملية التعليمية حول المتعلم بدل المعلم.
ميّز بوضوح بين مسائل الصنف الأول (تطبيق موارد سابقة) ومسائل الصنف الثاني (ابتكار تأليفة جديدة) — تمييز متكرر في أسئلة المباريات.
تحليل أخطاء المتعلمين في الرياضيات
الخطأ عنصر حاضر في العمل اليومي للمدرس، وهو مؤشر لصعوبات التعلم ومعيار للتقويم الذاتي لعمل الأستاذ. يميز الباحثون بين تعريفه كـعملية (خلل ذهني عند الحسم بين الصحيح والخاطئ) أو كـمنتوج (ما ينطق أو يكتبه التلميذ). التعريف الثاني هو الأهم ديداكتيكياً لأنه المنتوج القابل للملاحظة والتقويم.
تصنيف Bachelard للأخطاء
- الأخطاء العشوائية (erreurs aléatoires): ناتجة عن سهو أو تعب أو عدم انتباه، ليست دالة ولا تتكرر بانتظام؛
- الأخطاء المنتظمة (erreurs systémiques): تتكرر ولها دلالة في التعلم، تشير إلى غياب قدرات أو كفايات معينة يجب معالجتها — وهي محور اهتمام المدرس.
الأخطاء المرتبطة بجماعة القسم
- الخطأ المنعزل (erreur isolée): يرتكب انفرادياً، يعالَج عبر الدعم الفردي؛
- الخطأ المعبر أو الدال (erreur significative): يهم فئة من المتعلمين أو كلهم، ويستدعي إعادة النظر في الإجراءات التعليمية المتبعة نفسها.
أصول العوائق الثلاثة (origines des obstacles)
| نوع العائق | المصدر |
|---|---|
| عائق سيكولوجي-جيناتي (psychologique) | مرتبط بسن التلميذ ونموه |
| عائق ديداكتيكي (didactique) | مرتبط بمنهجية التدريس والرموز المستعملة |
| عائق إبيستيمولوجي (épistémologique) | مرتبط بصعوبة المادة نفسها وتطورها عبر التاريخ |
بيّن Piaget وBachelard أن الخطأ ليس دائماً نتيجة جهل، بل قد يكون نتيجة معرفة سابقة ناجحة لكنها لم تعد صالحة في الوضعية الراهنة — مثال كلاسيكي: تعميم القاعدة ab = 0 ⟺ a = 0 أو b = 0 بشكل خاطئ على (x−1)(x−2) > 0 بكتابة x−1 > 0 أو x−2 > 0.
ميّز بين الخطأ كـعملية (état/action ذهني) والخطأ كـمنتوج (قابل للملاحظة والتقويم)، وبين الأخطاء العشوائية والأخطاء المنتظمة حسب Bachelard — تمييز متكرر في أسئلة المباريات حول تحليل أخطاء المتعلمين.
طبيعة المعرفة الرياضية والتصورات حول التعلم
تتشكل كل وضعية تعليمية-تعلمية من ثلاثة عناصر متفاعلة (المثلث البيداغوجي): المدرس والمعرفة والتلميذ. يميز الديداكتيكيون بين ثلاثة أصناف من المعرفة الرياضية:
- المعرفة الرياضية عند الباحث/المختص: جاهزة ونهائية وخالية من الشوائب والمحاولات الفاشلة، معزولة عن سياقها التاريخي؛
- المعرفة الرياضية التي يجب أن تدرس: تُشتق من الأولى عبر ما يسمى الترنسبوزسيون الديداكتيكي (la transposition didactique)، وتوجد بالمقررات الدراسية؛
- المعرفة الرياضية المدرسة: التي يقدمها المدرس فعلياً، مطبوعة بطابعه الخاص (ترتيب التقديم، الأهمية الممنوحة للمفاهيم، تصوراته حول الرياضيات والتعلم).
ثلاثة تصورات حول كيفية تعلم التلميذ
- تصور الرأس الفارغة: المتعلم لا يعرف شيئاً، والمدرس هو حامل المعرفة والمرجع الوحيد الذي يقدّر ويصادق؛
- تصور الخطوات الصغيرة (اعتماداً على السلوكية béhaviorisme): تجزيء المعرفة إلى معارف جزئية وبسيطة، والتعلم عبارة عن تراكم لهذه المعارف الجزئية؛
- تصور الرأس المملوءة: التلميذ يملك فعلاً مجموعة معارف حول ما سيدرس (تصورات أصلية)، لكنها ناقصة أو غير مهيكلة، والوضعية التعليمية تنقله من وضعية الانطلاق هذه إلى وضعية نهائية مهيكلة ومعارف جديدة — وهذا التصور هو محور المقاربة البنائية.
خمس فرضيات للمقاربة السوسيو-بنائية
- Piaget: نتعلم بالفعل، أي بممارسة فعل حل المسائل لا بمجرد الاطلاع على أشياء ومواضيع؛
- Piaget: تمر المعرفة بحالة توازن عبر أطوار انتقالية يُعاد فيها النظر في المعارف السابقة (الاختلال ثم إعادة التوازن Déséquilibre)؛
- Bachelard: مفهوم التمثلات العفوية (représentations spontanées) — العقل ليس لوحاً فارغاً، بل يحمل تمثلات سابقة قد تشكل عوائق أمام المعرفة العلمية الجديدة؛
- Vygotsky: يمكن للطفل أن يتعلم أفضل بحضور شخص راشد (المدرس) وبالتعاون مع الأقران؛
- الصراع السوسيو-معرفي: جعل التلاميذ في حالة صراع معرفي (بين أقرانهم اجتماعياً، وحول موضوع المعرفة معرفياً) يسهّل عليهم اكتساب المعارف.
خصائص الوضعية-مسألة حسب Régine Douady
| # | الخاصية |
|---|---|
| 1 | يكون التلميذ قادراً على الانخراط في حل المسألة بمعارفه المتوفرة (يمكنه توقع حل أو جواب ممكن) |
| 2 | معارف التلميذ المتوفرة تبقى غير كافية عموماً لحل المسألة مباشرة (تستدعي إعادة استثمار واكتساب جديد) |
| 3 | يجب أن تسمح المسألة للتلميذ بأن يقرر بنفسه هل الحل المعثور عليه ملائم أم لا (مرحلة تصديق) |
| 4 | يجب أن تكون المعرفة المستهدفة الأداة الأكثر ملاءمة للتوصل إلى الحل، في حدود مستوى التلميذ |
ثلاثي المعرفة الرياضية (عند المختص / التي يجب أن تدرس / المدرسة فعلياً) ومفهوم الترنسبوزسيون الديداكتيكي، وكذا خصائص الوضعية-مسألة الأربع حسب Douady، من أكثر المفاهيم تداولاً في مباريات ديداكتيك الرياضيات بالثانوي التأهيلي.