ديداكتيك الرياضيات — الكفاءة المهنية (الإعدادي والتأهيلي)

2.1 موقع السلكين في المسار الدراسي

• الإعدادي جزء من التعليم الثانوي ومرحلة انتقالية بين الابتدائي والتأهيلي، يمتد ثلاث سنوات، ويتلقى فيه التلاميذ تكوينًا يستجيب لمواصفات من سيواصلون في التأهيلي أو في مراكز التكوين المهني أو من سينقطعون عن الدراسة.
• التأهيلي حلقة وسيطة بين الإعدادي والتعليم العالي: يرسّخ ويعمّق ما اكتسبه التلميذ، ويقدم تكوينًا أساسيًا علميًا ولغويًا نظريًا وتطبيقيًا يستجيب لمواصفات الخريجين من مختلف الشعب.

2.2 المبدأ الموجّه: معارف حية ذات معنى

تنص التوجيهات في السلكين على أن المعرفة التي لا تتحول إلى قدرة على التصرف «معرفة مرضية لا قيمة لها»، وتستنتج:

وتضيف أن التلميذ في بداية تعلمه «لا يعرف كيف يستعمل ما اكتسبه من معارف»، فيجب تدريبه على مواجهة المواقف الطارئة وحل المسائل غير المتوقعة، وعلى تحليل الأمور بإرجاعها إلى أصولها والاستدلال عليها اعتمادًا على الوقائع الملاحظة، وعلى الملاحظة والقياس. وأن مهمة المدرس لم تعد حشو الأذهان بالمعلومات، وأنه ليس هناك سؤال يتضمن إجابة واحدة فقط، وأن أفضل الحلول يظل قابلًا للمناقشة.

2.3 الأهداف العامة لتدريس الرياضيات

تنطلق الوثيقتان من الميثاق الوطني للتربية والتكوين: ينبغي أن تعكس الأهداف العامة لتدريس الرياضيات «أهمية الثقافة الرياضية ومساهمتها في اندماج المواطن في مجتمع يتطور باستمرار». ثم تجمل هذه الأهداف في ستة (وتضيف وثيقة الإعدادي هدفًا سابعًا):

2.4 الكفايات المستهدفة (وثيقة الإعدادي)

تميز وثيقة الإعدادي بين نوعين من الكفايات:

• كفايات مستعرضة مشتركة مع مواد أخرى: استعمال المنهج العلمي، والتجريب من خلال أمثلة، والتفكير المنطقي والتحليل النقدي، وحل المسائل والبرهنة، ونمذجة بعض الوضعيات، والتواصل.
• كفايات نوعية لتدريس الرياضيات: هي الأهداف السبعة في الجدول أعلاه.

وتذكّر الوثيقة بالإطار العام: اختيارات الإصلاح موزعة على ثلاثة مجالات هي القيم والكفايات والمضامين (الميثاق 1999 والكتاب الأبيض 2002)، وتتخذ الكفايات طابعًا استراتيجيًا وتواصليًا ومنهجيًا وثقافيًا وتكنولوجيًا.

2.5 إبستمولوجيا المادة في التوجيهات

يذكر التوصيف «إبستمولوجيا المادة» ضمن التمكن من المنهاج. في التوجيهات تظهر من خلال:

• التمييز بين ما يُقبل وما يُبرهن في كل مستوى (الفصل 5)، وتحذير المدرس من أن يخلط التلميذ بينهما: «يجب الحرص على أن يفرق التلميذ بينها وبين البرهان، مع التأكيد بوضوح على ما تم البرهان عليه وما تم قبوله بدون برهان».
• الانتقال التدريجي «من النمط الحسابياتي إلى النمط الجبري، ومن الوصف إلى الملاحظة والتجربة واستنباط النتائج والبرهنة عليها».
• أن المفهوم لن يُكتسب كاملًا عند تقديمه أول مرة، بل يُغنى ويُطوَّر عبر المستويات، فيجب فهم المراحل التي يمر بها المفهوم في كل سنة.
• تجنب البناء النظري للمفاهيم في مواضع كثيرة (الأعداد الكسرية، الحدوديات، النهاية، الاحتمال…) واعتماد المقاربة الحدسية أو التجريبية (الفصل 6).

3.1 المبادئ الموجهة لعمل المدرس

تقول التوجيهات إن الدراسات حول سيرورة تعلم التلاميذ تدفع إلى التأكيد على مبادئ يسترشد بها المدرس. في وثيقة التأهيلي ثلاثة مبادئ، وفي وثيقة الإعدادي الأولان منها:

1. تيسير وتشجيع المشاركة الفعلية للتلاميذ في كل ما له علاقة بموضوع التعلم وبالاستراتيجيات التي تقوي هذا التعلم؛
2. تفضيل اللجوء إلى طريقة حل المسائل في جميع مراحل التعلم؛
3. تشجيع استعمال التكنولوجيات الحديثة للتواصل والإعلام.

وتضيف: التلميذ «صانع لتعلمه وفاعل أساسي لتربيته»، وبناء المعرفة سيرورة معقدة، فعلى المدرس أن يتيح الظروف التي تدعو التلاميذ إلى توظيف مكتسباتهم ومحورة التعلم حول استراتيجياتهم وتصوراتهم، باختيار أنشطة ووضعيات تؤدي إلى طرح مسائل يتطلب حلها استعمال «أدوات» (أي تقنيات ومعارف مكتسبة) تفضي إلى اكتشاف مفاهيم جديدة. ولأن تلاميذ هذا السن «حيويون ومتحركون وفضوليون»، يُستحسن اعتماد أنشطة استكشافية أو بنائية تليها مناقشات في مجموعات مصغرة أو مع المدرس.

3.2 مكانة حل المسائل

لأن التربية الرياضية هي تنمية ممارسة الأنشطة الرياضية، وممارسة هذه الأنشطة لا تتم دون حل المسائل، فإن حل المسائل مهارة أساسية ينبغي تنميتها، ووسيلة ينبغي تفضيلها في تدريس الرياضيات. وتقول التوجيهات إن على المدرس اعتماد مقاربة حل المسائل في مختلف مراحل بناء المعارف:

والمسائل «أداة فاعلة»: لاستكشاف وبناء وتوسيع وتعميق وتطبيق وإدماج المعارف (مفاهيم، وخاصيات، وخوارزميات، وتقنيات)؛ ولاكتساب مهارات فكرية (تنظيم، وتجريد، وتحليل، وتركيب، وتقدير، وتعميم، واستنتاج، وتبرير)؛ ولاتخاذ مواقف إيجابية؛ ولاستعمال استراتيجيات حل المسائل: البحث عن ضوابط مشابهة، وتمثيل مسألة بشكل أو مبيان، وإنشاء جدول، والاستعانة بنموذج، واستعمال صيغة، وبناء معادلة، والتصرف بكيفية عكسية.

3.3 صنفا المسائل والاستدلالات المقبولة ظاهريًا

القدرة على حل هذه المسائل تفترض مهارات من مستوى رفيع، وكلما وُضع التلميذ في وضعيات تتطلب ربط وضعية بنموذج، سهل عليه تحليل الوضعيات وإيجاد الحلول. وقبل اقتراح أي مسألة، يطرح المدرس سؤالين: ما المعارف والمهارات التي يتطلبها حلها، وهل يتوفر التلميذ عليها؟ وما المعارف والمهارات التي يمكن أن يكتسبها التلميذ بحلها؟

3.4 التمارين والمسائل

التأكيد على حل المسائل لا يعني إغفال التمارين: فالتمارين تساعد على تثبيت المهارات والآليات، وتيسر تطبيق التعاريف والخاصيات التي سبقت دراستها. والقاعدة كما وردت: «إن التمارين لا يمكن أن تحل محل المسائل ولا المسائل أن تعوض التمارين»، فكل منهما يكمل الآخر. وباستثمار حل المسائل، يستدرج المدرس التلميذ إلى اللجوء إلى نموذج رياضي معروف يساعده على تحقيق الأهداف النهائية، وعلى استعمال سياق يمكنه من بناء معارف ونماذج أخرى.

3.5 سمات الطريقة الناجحة والطريقة النشيطة

تسرد التوجيهات أهم سمات الطريقة الناجحة كما حددها بعض المربين:

• القدرة على بلوغ الهدف في أقل وقت وبأيسر جهد؛
• إشراك المتعلم بفعالية في مختلف خطوات استكشاف المعرفة وجعله صانعًا لتعلمه؛
• تشجيع التلميذ على استحضار الفكر والتفكير المرن البناء والحكم المستقل؛
• التدرج في بناء المعرفة من السهل إلى الصعب، ومن البسيط إلى المعقد، ومن المعلوم إلى المجهول؛
• رصد واستغلال استعدادات التلميذ ومؤهلاته الكامنة؛
• اعتماد مبدأ الإثارة والتشويق والفضول وحب الاستطلاع، وتجنب كل أشكال التثبيط والجرح والتوبيخ؛
• اعتماد أساليب المناقشة والحوار وتمركز العملية التعليمية حول المتعلم بدل المعلم.

وتخلص إلى أن الطريقة النشيطة التي تعتمد على المجهود الشخصي للتلميذ وعلى مبدأ القدرة على التعلم الذاتي هي أصلح طريقة لهذه المرحلة، وأن على المدرس تنظيم عمله بشكل يحقق نشاطًا جماعيًا منظمًا يتيح لجميع التلاميذ فرص المشاركة.

3.6 اختيار طريقة التدريس المناسبة

لا توجد طريقة صالحة لكل درس. المعيار الأساس لاختيار طريقة لتصريف مضمون معرفي هو طبيعة القدرة المستهدفة وخصائص الفئة المعنية. أما الغلاف الزمني، ونسبة الأهمية في التقويم الإجمالي، والصعوبة الإبستمولوجية، فهي عوامل ثانوية تُراعى بعد ذلك. وتذكر التوجيهات أن «عمومية هذه المبادئ تترك للمدرس حرية كبيرة للتصرف في اختيار كيفية إدماجها في عمله البيداغوجي».

ومن أمثلة الاختيار في البرنامج نفسه:

• الخاصية المميزة لمنصف زاوية في السنة الأولى إعدادي «تقدم من خلال أنشطة» وتُقبل.
• المفاهيم الهندسية الأساسية في السنة الأولى «مألوفة لدى التلاميذ فلا داعي لتعريفها»، وتُقدم خاصياتها بالملاحظة والتجربة واستنباط النتائج.
• مفهوم النهاية في الأولى بكالوريا علوم تجريبية «يُقدم بطريقة حدسية».
• الاحتمال في الثانية بكالوريا علوم تجريبية «يُقدم انطلاقًا من استقرار تردد حدث عشوائي».

4.1 السبورة

السبورة «أكثر الوسائل استعمالًا، وأداة العمل الرئيسية بالنسبة للمدرس». أهميتها الديداكتيكية أنها تمكن المدرس من تدوين مكونات الدروس وتسجيل خلاصات التفاعل الصفي (تعاريف، وخاصيات، وشروح، وملخصات، وجداول، وتمارين، وبراهين)، وتمكن التلميذ من استيعاب أفضل وأخذ النقط. غير أن اختيار هذه الوسيلة يتطلب من المدرس وضوح الخط وتنظيم المعلومات المسجلة تنظيمًا محكمًا متناسقًا يسمح للمتعلم بتدارك ما يفوته.

4.2 الكتاب المدرسي

الكتاب المدرسي أداة تعليمية وتعلمية للتلميذ والمدرس على السواء، وهو «تصريف للبرامج والتوجيهات التربوية دون أن يكون بديلًا عنها». أهميته:

• يشكل للتلميذ وسيلة عمل متكاملة ومنظمة حاضرة في البيت والمدرسة، تعوده على التعلم الذاتي؛
• يمكّنه من الاستعداد القبلي للدرس ويساعده على استكمال معلوماته حوله؛
• يمثل للمدرس مرجعًا جامعًا للبرنامج مرتبًا ومنظمًا منطقيًا يساعده على التحضير.

لكن توفره «لا يعفي المدرس من تحضير دروسه»، ولا ينبغي أن يعتمد عليه إلى أبعد الحدود، لأنه «يظل قاصرًا عن تحقيق كل الأهداف المرسومة»، والاقتصار عليه يضفي على التفاعل الصفي طابع الرتابة.

وقيمته خارج الفصل كما وردت حرفيًا:

• يشتمل على جوهر الدرس المقدم داخل الفصل بصورة أوضح وأدق من دفتر الدروس؛
• يعفي المدرس من كتابة معطيات بعض التمارين والمسائل؛
• يقدم رصيدًا من النصوص الصالحة للعمل الاختياري؛
• يقدم بديلًا عن الدرس للتلميذ المتغيب؛
• قد يساعد المدرس على اجتناب التطرق إلى بعض القضايا البسيطة ليكرس أغلب وقته لتوظيف المفاهيم.

وإذا كان درس الأستاذ كثير الشبه بمحتوى الكتاب، يُكتفى بتسجيل النقط الرئيسية في الدفاتر؛ وإذا حصل العكس، تُقدَّم الشروح الضرورية التي تمكن التلاميذ من الاهتداء إلى محتوى الدرس في الكتاب.

4.3 التكنولوجيات الحديثة في الإعلام والتواصل

من مواصفات المتعلم في نهاية الثانوي أن يكون قادرًا على استعمال التكنولوجيات الحديثة. والأدوات المعلوماتية (آلة حاسبة عادية أو علمية أو قابلة للبرمجة، أو حاسوب) تساعد على:

• تبسيط بعض الحسابات وتحديد قيم مقربة؛
• التحقق من بعض النتائج؛
• وضع وتمحيص بعض المظنونات؛
• معالجة بعض القضايا وحل مسائل تتطلب وقتًا كبيرًا لإنجازها يدويًا؛
• إنشاء جداول ومبيانات ومنحنيات وأشكال هندسية من المستوى والفضاء ومقاطع لها؛
• القيام بمحاكاة وتحريك أشكال من المستوى والفضاء (وثيقة التأهيلي).

وفي برامج الأولى والثانية بكالوريا: التأكيد على الجانب الوظيفي لهذه الأدوات (الأولويات في العمليات، واستعمال الملامس، وإدخال المعطيات، وصياغة برامج بسيطة، واستعمال البرانم الرياضية)، والاشتغال بتنسيق مع مدرسي الإعلاميات. الفصل 7 يعود إلى إدماج هذه الأدوات من زاوية ديداكتيكية.

4.4 الوثائق التربوية المدرسية

وفي الورقتين معًا سؤال عن الوثيقة التي لا تقع ضمن الوثائق التربوية الملزمة إداريًا للمدرس: الجواب الكتاب المدرسي. فدفتر النصوص، وجذاذات التحضير، وبطاقات نقط الفروض المحروسة، وثائق يطالب بها المدرس. أما الكتاب المدرسي فوسيلة تعليمية، لا وثيقة إدارية.

4.5 التحضير: توقع أسئلة التلاميذ والعناية بالبراهين والتمارين

الأنشطة التي يقتصر فيها دور المدرس على الإشراف والتنشيط «تتطلب منه استعدادًا كاملًا»، و«بالتالي فإن التحضير لا ينحصر في تحديد أهداف الدرس وعناصره وجزئياته فقط، بل يعدوه إلى توقع طبيعة الأسئلة التي من المنتظر إثارتها، وذلك حتى لا يتخذ الدرس مسارًا مفاجئًا لا يمكن التحكم في نتائجه». وإذا نبّه تلميذ إلى خلل في الدرس، فذلك مناسبة للتفكير وإبداء التواضع العلمي.

ومن المفيد توجيه عناية المدرس إلى ما يلي، كما ورد بالحرف تقريبًا:

• التنبيه إلى النتائج التي تقبل في مستوى معين بدون برهان؛
• تجنب التجاوزات العشوائية التي تفوق بصورة واضحة مستوى التلاميذ؛
• استبعاد عدد من النقط التي، بالرغم من فائدتها المؤكدة، لا تتعلق بجوهر الدرس (وكثير منها يصلح محورًا لتمارين مفيدة)؛
• تجنب جميع البراهين المصطنعة، حتى ولو كانت براهين رائعة، حيث إنه لا ينبغي توخي الأناقة في تقديم الاستدلالات على حساب الوضوح والسجية؛
• الإلحاح على أهمية التعاريف والافتراضات والحرص على أن يكون المدرس قدوة في هذا المجال، حتى ولو كان يبدو في ذلك مضيعة للوقت.

4.6 اختيار التمارين وتجنب التمارين المتشابهة

على المدرس أن يكيف التمارين والمسائل مع مستوى تلاميذه، وإذا استقاها من كتاب فلا يعتقد أنه مقيد بنصوصها: يحتفظ بالفكرة ويُدخل التعديلات اللازمة، مع جعل النص واضحًا خاليًا من التعابير المبهمة أو المحيرة. ثم: «يجب المزاوجة باستمرار بين الدروس والتمارين في تنسيق محكم وتجنب تقديم العديد من التمارين المتشابهة في حصص الرياضيات، لأن مثل هذا العمل قد يؤدي في أحسن الظروف إلى ردود الأفعال الآلية، وفي أسوأ الحالات إلى الملل والنفور».

ومن المستحسن أن يعمل المدرسون المكلفون بأقسام من نفس المستوى على المقارنة بين تجاربهم ووضع تحاضير مشتركة، وأن تُعقد اجتماعات تضم أساتذة المواد العلمية لتنسيق استثمار المعارف الرياضية في المواد الأخرى.

5.1 بنية البرنامج وأعمدته الثلاثة

برنامج الرياضيات بالسنوات الثلاث من الإعدادي مبني على ثلاثة محاور: الأنشطة العددية، والأنشطة الهندسية، وتنظيم المعلومات والدوال العددية (الأنشطة المبيانية والإحصائية). والمحاور «مرتبطة ارتباطًا وثيقًا»: الأعداد تستعمل في الهندسة، والأشكال والتمثيلات الهندسية في الجبر. والتناسبية «موضوع أساسي في جميع المكونات الثلاث وميدان خصب لحل المسائل». وكل درس في البرنامج مقدم في جدول من ثلاثة أعمدة:

وفي آخر برنامج كل سنة توزيع دوري بالساعات لكل فقرة وملاحظات: تُنجز فقرات كل دورة حسب ترتيب يُعد على الصعيد الجهوي، وتتخلل كل دورة ثلاثة فروض محروسة (ساعة إنجاز وساعة تقرير لكل منها) وثلاثة فروض منزلية (ساعة تقرير لكل منها) وحصص للدعم والتثبيت.

5.2 ما يُقبل وما يُبرهن: أمثلة يُسأل عنها

5.3 تتبع مفهوم عبر السنوات: الهندسة الفضائية مثالًا

تذكّر التوجيهات بأن أي مفهوم «لن يتم اكتسابه بصورة تامة عند تقديمه للمرة الأولى، وإنما يتم له ذلك بعد إغنائه وتطويره عبر المستويات الدراسية». ومسار الهندسة الفضائية في الإعدادي مثال واضح:

5.4 تطبيق: صفحة «الموشور القائم والأسطوانة» (السنة الأولى، الصفحة 29 من كتيب 2009)

وهذه قراءة الصفحة كما طلبتها أسئلة 2025:

5.5 توزيع الفروض المحروسة في السنة الأولى (المذكرة 192)

المحروسان الأول والثاني في الأسبوعين الخامس والعاشر، والثالث بين 10 و18 يناير في الدورة الأولى، وبين 13 و18 يونيو في الثانية. وتفصّل المذكرة الجداول نفسها للسنتين الثانية والثالثة (الفصل 8).

6.1 بنية الكتيب

تبدأ وثيقة نونبر 2007 بالتوجيهات العامة (ص 2 إلى 14)، ثم برامج الجذوع المشتركة، ثم برامج السنة الأولى، ثم برامج السنة الثانية بكالوريا حسب الشعب. ولكل شعبة «اعتبارات عامة» و«اعتبارات خاصة» قبل جداول البرنامج ذات الأعمدة الثلاثة (المحتوى، والقدرات المنتظرة، والتوجيهات التربوية). وشعبتا العلوم التجريبية والعلوم والتكنولوجيات تشتركان في البرنامج نفسه في السنتين.

6.2 الجداء السلمي عبر المستويات

ويسبق درسَ تحليلية الجداء السلمي في برنامج الأولى بكالوريا درسا المرجح والدوران (الهندسة المستوية: 1. المرجح في المستوى، 2. الدوران، 3. تحليلية الجداء السلمي). وتجويه المستوى نفسه قُدِّم في الجذع المشترك ضمن فقرة «المعادلات والمتراجحات والنظمات»، إذ تنص القدرات المنتظرة على «التمثيل المبياني لحلول متراجحات أو نظمات متراجحات من الدرجة الأولى بمجهولين واستعماله في تجويه المستوى».

6.3 تطبيق: قراءة صفحة الجداء السلمي كما طلبتها أسئلة 2025

6.4 توجيهات خاصة تكرر السؤال عنها

6.5 الوضعية الطويلة في ورقة التأهيلي: معادلة لوغاريتمية

اقترحت أستاذة على قسم من الثانية بكالوريا علوم تجريبية حل المعادلة التالية في مجموعة الأعداد الحقيقية:

(E) : ½ ln(x/e) = √(ln x)

يستدعي الحل ثلاثة أمور: مجموعة تعريف المعادلة، وهي المجال الذي يكون فيه اللوغاريتم موجبًا أو منعدمًا؛ وخاصية لوغاريتم خارج، التي تحول الطرف الأيسر إلى نصف الفرق بين لوغاريتم المجهول والعدد 1؛ ثم التكافؤ بين المعادلة الأصلية والمعادلة المحوَّلة. وتقول التوجيهات عن الدوال اللوغاريتمية إنها تقدم «مباشرة بعد درس الدوال الأصلية» باعتبارها الدالة الأصلية لدالة المقلوب على المجال الموجب قطعًا والتي تنعدم في 1، وإن من القدرات المنتظرة «التمكن من الحساب الجبري على اللوغاريتمات» و«التمكن من حل معادلات ومتراجحات ونظمات لوغاريتمية». تحليل أجوبة التلميذين في الفصل 9.

7.1 تطور المضامين: إصلاح «الرياضيات الحديثة» وأزمته

7.2 تاريخ المفاهيم: الجداء السلمي مثالًا

سُئل في ورقة التأهيلي عن «أحد علماء الرياضيات الأوائل الذين ساهموا في بناء مفهوم الجداء السلمي خلال القرن التاسع عشر». الجداء السلمي والجداء المتجهي وليدا الجبر الشعاعي في القرن التاسع عشر:

• هيرمان غراسمان: «نظرية الامتداد» (1844)، وفيها جداء داخلي هو أصل الجداء السلمي؛
• ويليام روان هاميلتون: الكواتيرنيونات (1843)، ومن جدائها انفصل لاحقًا الجداءان السلمي والمتجهي؛
• جوزايا ويلارد غيبس وأوليفر هيفيسايد: التحليل الشعاعي بصيغته الحديثة وترميزه في ثمانينيات القرن التاسع عشر.

أما الأسماء المقترحة في الورقة (أولير، وغاوس، وريمان، ولوباتشفسكي) فلا يُنسب إليها بناء هذا المفهوم: أولير من القرن الثامن عشر، ولوباتشفسكي وريمان اشتهرا بالهندسات اللاإقليدية.

7.3 مفاهيم ديداكتيكية أساسية

7.4 إدماج تكنولوجيا المعلومات والاتصال: المقاربة الأداتية

يندرج إدماج تكنولوجيا المعلومات والاتصال في تعليم الرياضيات وتعلمها في إطار المقاربة الأداتية، التي صاغها بيير رابردل (1995) وطورتها في ديداكتيك الرياضيات ميشيل أرتيغ ولوك تروش: الأداة التقنية (الآلة الحاسبة، أو برنام الهندسة الديناميكية) لا تصير «أداة للتعلم» إلا عبر «تكوين أداتي» يبني فيه التلميذ خطاطات استعمالها. ويترتب عن ذلك:

• أن قيمة الأداة المضافة رهينة بسيناريو بيداغوجي يحدد متى تُستعمل ولأي غرض، لا بدليل الاستعمال ولا بتقنية تنشيطية؛
• أن أهمية برنام مثل «جيوجبرا» في درس هندسي هي طابعه الدينامي: تحريك نقطة مع حفظ العلاقات يكشف الثوابت ويسند التظنن، وهو ما لا يتيحه الرسم الثابت على الورق؛
• أن الأداة تُستعمل لتصحيح التمثلات (كما في توجيهات الموشور القائم) وللتحقق والتظنن، لا لتعويض البرهان.

7.5 التناوب اللغوي والتعلم الذاتي

• التناوب اللغوي: كرّسه القانون الإطار 51.17 المتعلق بمنظومة التربية والتكوين (2019)، بتدريس بعض المواد، ولا سيما العلمية منها، بلغة أجنبية. وفي الرياضيات يطرح مسألة التمكن من المصطلحات وصياغة البرهان باللغتين، ومسألة الانتقال بين الترميز الموحد ولغة الشرح.
• التعلم الذاتي: تجعل التوجيهات من الطريقة النشيطة القائمة على المجهود الشخصي للتلميذ وعلى «مبدأ القدرة على التعلم الذاتي» أصلح طريقة لهذه المرحلة، وتذكر أن الكتاب المدرسي يعوّد التلميذ على التعلم الذاتي، وأن الفروض المنزلية تتيح فرصًا لتنمية مهارات التحليل والتوليف وروح الاكتشاف.

7.6 المشاكل الديداكتيكية في تدريس المادة

من الإشكالات التي تطرحها المقاربة بالكفايات في الرياضيات صعوبة بناء وضعيات مشكلة محفزة للتلاميذ: وضعية دالة ترتبط بالقدرة المستهدفة، وتكون في متناول التلاميذ، وتحفزهم، وتتطلب تعبئة موارد متعددة. أما «عدم إيلاء العناية للمضامين المعرفية» أو «للتقويم التكويني» أو «إغفال البعد النفسي» فمؤاخذات لا تنسجم مع مبادئ المقاربة نفسها. ومن المشاكل الأخرى: تدبير الزمن المدرسي مع أنشطة البحث، وتدبير عدم تجانس الأقسام، والانتقال بين السلكين (الإعدادي، ثم التأهيلي، ثم العالي).

8.1 التقويم وأنواعه في التوجيهات

التقويم التربوي «عملية تهتم بجمع وتنظيم وتفسير المعلومات الممكنة والمتوفرة لإصدار حكم على مدى تحقق الأهداف التربوية التي تم وضعها مسبقًا، بهدف اتخاذ قرارات تربوية سليمة ومناسبة». وأبرز أنواعه ثلاثة:

وأغراض التقويم التكويني ثلاثة: تمكين المدرس من بلوغ أهداف الدرس، ومن تشخيص مواطن الضعف والقوة لدى كل تلميذ مع تحديد أسبابها، ومن تحديد الفوارق بين التلاميذ للتقليص منها وتوفير فرص متكافئة للنجاح.

8.2 المعالجة الفورية والمعالجة المؤجلة

8.3 الفروض المحروسة والمنزلية

الفروض في تعليم الرياضيات «ركن أساسي لا يمكنه أن يقوم بدونها». فبواسطتها يدرب المدرس التلاميذ على استثمار ما اكتسبوه، ويوفر تغذية راجعة تساعدهم على تقويم تعلمهم. و«المدرس الذي لا يهتم بالفروض بنوعيها ولا يخصص لها من الوقت والجهد ما تستحقه يعد مقصرًا بل مخلًا بواجبه». وتضيف التوجيهات أن التمارين اليومية «لا يمكن بأي حال من الأحوال أن تحل مكان الفروض المنزلية».

• الفروض المحروسة تعوّد التلاميذ على العمل في وقت محدد واستغلاله، وتكشف مدى تمكنهم من توظيف معارفهم ومهاراتهم.
• الفروض المنزلية تدفعهم إلى البحث في المسائل وصياغة حلول في وقت حر خارج مراقبة الأستاذ، وتتيح لهم فرصًا لتنمية مهارات التحليل والتوليف وروح الاكتشاف.

8.4 المذكرة 192 (الإعدادي)

8.4 مكرر — المذكرة 08-142 (التأهيلي)

صدرت المذكرة 08-142 بتاريخ 16 نونبر 2007 في موضوع التقويم التربوي بالسلك الثانوي التأهيلي لمادة الرياضيات، وهي نظيرة المذكرة 192 في التأهيلي، ببنية مماثلة:

• أساليب المراقبة المستمرة: نفس القواعد تقريبًا: تمتد المراقبة طيلة كل دورة؛ الفروض تنجز ويقدم تقرير عنها في الأسبوع الموالي؛ النقط تسلم للإدارة؛ المواضيع والسلالم تدون في دفتر النصوص؛ الغياب المبرر يمنح فرصة للاستدراك، وغير المبرر يستحق عليه التلميذ صفرًا.
• نقطة المراقبة المستمرة: المعدل الحسابي للنقط المحصل عليها في الفروض المحروسة في كل دورة.
• التنظيم: جداول لكل جذع وشعبة ومستوى تحدد الفروض المنزلية والمحروسة، وأسابيع إعطائها وتصحيحها، ومدة إنجازها (ساعتان في الشعب العلمية، وساعة في الشعب الأدبية والأصيلة والفنون التطبيقية)، ومكونات كل فرض ونسبة أهمية كل مكون. ويسبق كل فرض محروس فرض منزلي.
• المنطلق في بناء الفروض: المضامين والتوجيهات التربوية والقدرات المنتظرة، مع الالتزام بنسب الأهمية المحددة في الجداول. وللامتحانين الجهوي والوطني: المضامين والتوجيهات والأطر المرجعية.
• مستويات الأسئلة: الفروض المنزلية أسئلة من المستويين الثاني والثالث بنسبة بين 30 و60%. والفروض المحروسة في الجذوع والشعب الأدبية والأصيلة والفنون التطبيقية: المستوى الأول نحو 60% والثاني نحو 40%. وفي باقي الجذوع والشعب: أسئلة المستوى الثالث بين 10 و20%، مع التوازن بين المستويين الأول والثاني.

مثال من جدول السنة الأولى بكالوريا علوم تجريبية، الدورة الأولى، كما سُئل عنه في 2025:

8.5 المستويات المهارية الثلاثة

وفي الإطار المرجعي للامتحان الموحد الجهوي (2025) جدول آخر لنسب أهمية المجالات المعرفية: الأنشطة العددية 25%، والأنشطة المبيانية والإحصائية 30%، والهندسة 45%.

8.6 معايير استعمال الإطار المرجعي

الإطار المرجعي وثيقة تعاقدية تحدد ما يُقوَّم في الامتحان الإشهادي: المجالات المعرفية والقدرات، والمستويات المهارية، ونسب الأهمية. ويُحكم على موضوع امتحان بثلاثة معايير، فصلها الإطار المرجعي الجهوي لمادة الفيزياء والكيمياء بوضوح:

أما عند تحضير الدرس، فمرجع المدرس الأول هو التوجيهات التربوية والبرامج، حتى في مستوى إشهادي. فالإطار المرجعي يحدد ما يُقوَّم، والتوجيهات تحدد ما يُدرَّس وكيف يُدرَّس. وتنص المذكرة 192 على أن المنطلق في بناء فروض المراقبة المستمرة هو «المضامين والتوجيهات التربوية والقدرات المنتظرة»، وأن المنطلق في الامتحانين المحلي والجهوي يضيف إليها «الإطار المرجعي».

8.7 تصحيح أوراق التحرير وتقرير التصحيح

تصحيح أوراق التلاميذ من أهم مناسبات التواصل بين المدرس وتلاميذه، والغاية منه رصد جميع أخطاء التلاميذ مع تصنيفها وتحديد أكثرها شيوعًا، والبحث عن الأسباب الحقيقية التي أسهمت في ارتكابها. ويجب أن تحمل كل الأوراق المصححة تقديرات للمدرس. وفي تقديم التقرير، تقول التوجيهات:

• ليس من الضروري أن يتولى التلاميذ أنفسهم عملية التصحيح على السبورة، لأن تدخلاتهم هدر للوقت ومنافٍ لأهداف تقديم التقرير المتمثلة في إبراز أخطائهم واقتراح سبل تجاوزها؛
• المدرس، باعتباره صحح الأوراق واطلع على الأخطاء وبحث عن أسبابها، هو المؤهل الأول لتقديم التقرير؛
• غير أنه يمكن، أحيانًا، إتاحة الفرصة لأحد التلاميذ لمعالجة سؤال ما إذا رأى المدرس أنه قد تميز في الإجابة عنه، وهو إجراء يدخل في إطار التشجيع والتحفيز لا غير؛
• ليس من الضروري التعليق على جميع الأخطاء بشكل انفرادي؛ أحسن طريقة للتصحيح هي التصحيح الجماعي: بعد جرد الأخطاء الفادحة أو الشائعة، ينبه المدرس التلاميذ إليها ويعينهم على الوقوف على أسبابها ومصادرها وعلى تقويمها لتفاديها.

9.1 الخطأ في المقاربة البنائية

لم يعد الخطأ علامة فشل تُعاقب، بل مؤشرًا على طريقة تفكير التلميذ ومنطلقًا للتعلم. وتقول التوجيهات إن الغاية من تصحيح الأوراق «رصد جميع أخطاء التلاميذ مع تصنيفها وتحديد أكثرها شيوعًا، والبحث في إنجازات التلاميذ عن الأسباب الحقيقية التي أسهمت في ارتكابها». وتحليل الخطأ يمر بثلاث خطوات: وصفه (أين وقع بالضبط؟)، ثم تفسيره (ما مصدره؟)، ثم معالجته (أي نشاط يستهدف ذلك المصدر؟).

9.2 مصادر الأخطاء

9.3 الوضعية الأولى (ورقة الإعدادي، السنة الثالثة): منتصف قطعة

المعطيات: المثلث ABC محاط بدائرة مركزها O؛ H مركز تعامد المثلث؛ I منتصف [BC]؛ D النقطة المقابلة قطريًا للنقطة A. المطلوب: بيّن أن I منتصف [DH].

حل سليم:

1. لأن [AD] قطر، فالمثلثان ABD وACD قائما الزاوية في B وفي C (كل مثلث أحد أضلاعه قطر في الدائرة المحيطة به قائم الزاوية). إذن (BD) عمودي على (AB) و(CD) عمودي على (AC).
2. لأن H مركز التعامد، فإن (CH) عمودي على (AB) و(BH) عمودي على (AC).
3. المستقيمان العموديان على مستقيم ثالث متوازيان: (BD) يوازي (CH)، و(CD) يوازي (BH).
4. إذن BHCD متوازي أضلاع، وقطراه [BC] و[HD] يتقاطعان في منتصفهما، وبما أن I منتصف [BC]، فهو منتصف [DH].

الخاصيات الأساسية للحل: التوازي والتعامد وارتفاعات مثلث، ومعها خاصية المثلث المحاط الذي أحد أضلاعه قطر، وخاصية قطري متوازي الأضلاع.

الخطوة الموالية: حسب نتائج الفحص، اعتمد نحو 50% من التلاميذ طريقة «ب» ونحو 20% طريقة «أ»، والباقون طرقًا مختلفة غير موفقة. أمام هذا التوزيع، الخطوة التالية بعد تحديد الأخطاء وتحليلها هي تكوين مجموعات حسب الحاجة: مجموعة تشتغل على الفرق بين الملاحظة والبرهان، ومجموعة على إثبات الاستقامية والتوازي قبل استعمالهما، ومجموعة ثالثة على بناء استراتيجية حل.

9.4 الوضعية الثانية (ورقة التأهيلي، الثانية بكالوريا علوم تجريبية): معادلة لوغاريتمية

المعادلة:

(E) : ½ ln(x/e) = √(ln x)

حل سليم:

1. مجموعة التعريف: يجب أن يكون اللوغاريتم موجبًا أو منعدمًا، أي x ≥ 1.
2. بخاصية لوغاريتم خارج، تصير المعادلة: ln x − 1 = 2√(ln x).
3. الطرف الأيمن موجب، إذن يجب أن يكون الطرف الأيسر موجبًا كذلك: ln x ≥ 1. وتحت هذا الشرط فقط تكافئ المعادلة مربعها: (ln x − 1)² = 4 ln x.
4. بوضع t = ln x نحصل على t² − 6t + 1 = 0، وحلاها 3 − 2√2 و3 + 2√2.
5. الحل الأول أصغر من 1 فهو مرفوض، ويبقى حل وحيد هو x = e^(3+2√2).

الخطوة الموالية: حسب نتائج الفحص، اعتمد نحو 60% من التلاميذ طريقة «أ» مع ارتكاب الخطأ نفسه. خطأ يرتكبه أغلب القسم يستدعي معالجة جماعية: اقتراح أنشطة الدعم التي تستهدف شروط التكافؤ عند تربيع طرفي معادلة. أما «إعادة شرح فقرة الخاصيات الجبرية لدالة اللوغاريتم النبيري» فلا تستهدف هذا الخطأ، لأن التلميذ «أ» طبق هذه الخاصيات تطبيقًا صحيحًا.

10.1 من التشخيص إلى الدعم

الدعم يأتي بعد تحليل الأخطاء، لا قبله. وتسلسل العمل كما تقتضيه التوجيهات والمذكرة 192:

1. رصد الأخطاء وتصنيفها وتحديد أكثرها شيوعًا (تصحيح الأوراق)؛
2. البحث عن مصادرها (الفصل 9)؛
3. تحديد الحاجات: من يحتاج إلى ماذا؟
4. إعداد أنشطة الدعم وتدبيرها؛
5. تقويم أثر الدعم، ثم استثمار ذلك في المراقبة المستمرة.

10.2 مبادئ إعداد أنشطة الدعم

• التوافق مع الحاجات المسجلة: هذا هو المبدأ الأول، فالنشاط الداعم يستهدف مصدر الخطأ المرصود، لا التمرين الذي أخطأ فيه التلاميذ في ذاته.
• التدرج: من إعادة بناء المفهوم أو الخاصية إلى تطبيقها في وضعيات مألوفة ثم غير مألوفة.
• التنويع في الوضعيات والدعامات والأطر (هندسي، وجبري، ومبياني)، دون أن يكون التنوع غاية في ذاته.
• إشراك التلميذ في تحديد خطئه وتصحيحه، لأن الخطأ الذي يكتشفه التلميذ بنفسه أقل عودة.

10.3 أشكال تدبير الدعم

10.4 استثمار التحليل في المراقبة المستمرة

بعد معالجة خطأ، يتحقق المدرس من أثر المعالجة في المراقبة المستمرة، مع احترام مواصفات المذكرة 192. والصيغة السليمة هي استهداف نفس القدرات في وضعيات مألوفة أخرى مع تنقيط مناسب:

• نفس القدرات، لأن الغاية قياس أثر المعالجة؛
• وضعيات أخرى، لأن تكرار التمرين نفسه يقيس الحفظ لا القدرة؛
• وضعيات مألوفة، لأن القدرة ما زالت في طور الترسيخ (المستوى المهاري الثاني)؛
• تنقيط مناسب يتناسب مع الجهد المطلوب ومع الجزء المرتبط به من البرنامج، كما تنص المذكرة.

أما «اقتراح نفس التمرين في فرض محروس»، أو «معالجة تمارين مماثلة في فرض منزلي وإعادة تمريرها في فرض محروس»، أو «التنقيط المرتفع» أو «الضعيف»، فكلها تخل بمواصفات الموضوع أو بتناسب النقطة مع الجهد.

10.5 الأنشطة الداعمة والمواكبة للدرس

يذكر التوصيف في المجال 2.1 «الأنشطة الداعمة والمواكبة للدرس». وهي الأنشطة التي تُدمج في الدرس نفسه: أسئلة شفوية سريعة للتحقق من الفهم، وتمارين تطبيقية في نهاية كل فقرة (تقويم تكويني)، ومعالجة فورية لتلميذ يواجه صعوبة، وفروض منزلية تُعد للفرض المحروس. وهي بذلك تمهّد للدعم المؤجل وتقلّل الحاجة إليه.

مراجع الوحدة