Module 17 · 2 chapitres

Savoirs Mathématiques

Unité de mathématiques au format du concours : des exercices de situation réels dans les trois domaines du descriptif (calcul numérique et algébrique, géométrie plane et dans l'espace, mesure et statistique), tous en QCM avec des distracteurs proches qui reprennent les erreurs courantes et une justification complète de chaque réponse. Des chapitres synthétiques précèdent la banque d'exercices : critères de divisibilité, PGCD/PPCM, identités, équations, inéquations, fonctions, Thalès et Pythagore, formules d'aires et de volumes, transformations, conversions d'unités, moyenne, médiane, mode et moyenne pondérée.

2 chapitres 10 questions ~20.0 heures
Unité commune à : Inspecteurs Métiers de l’éducation — Primaire Orientation

L'épreuve de mathématiques du concours se présente sous forme de QCM en français : chaque question propose cinq choix A à E, le choix E étant « Aucun des choix précédents proposés n'est correct ». Les items sont des calculs purs (fractions imbriquées, puissances, racines, encadrements, équations) et des problèmes courts. Ce chapitre donne les méthodes qui évitent les pièges des distracteurs, avec les items de la session 2025 (sujet 2) comme modèles.

1. Fractions imbriquées : on réduit de l'intérieur vers l'extérieur

Modèle (concours 2025, Q61). \(K = 3 - \dfrac{5}{4} \times \dfrac{1 - \dfrac{3}{2}}{1 + \dfrac{3}{2}}\)

  1. Numérateur : \(1 - \dfrac{3}{2} = -\dfrac{1}{2}\).
  2. Dénominateur : \(1 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{5}{2}\).
  3. Quotient : \(-\dfrac{1}{2} \div \dfrac{5}{2} = -\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5} = -\dfrac{1}{5}\).
  4. Produit : \(\dfrac{5}{4} \times \left(-\dfrac{1}{5}\right) = -\dfrac{1}{4}\).
  5. \(K = 3 - \left(-\dfrac{1}{4}\right) = 3 + \dfrac{1}{4} = \dfrac{13}{4}\).
💡 Pièges : oublier que « moins moins fait plus » à la dernière étape (distracteurs \(-\dfrac{13}{4}\) ou \(\dfrac{7}{20}\)), et additionner avant de multiplier. Contrôle rapide : un résultat supérieur à 3 est cohérent puisqu'on soustrait un nombre négatif.

2. Puissances et puissances de 10

RègleFormuleExemple
Produit\(a^{n} \times a^{m} = a^{n+m}\)\(2^{5} \times 2^{-3} = 2^{2}\)
Quotient\(a^{n} \div a^{m} = a^{n-m}\)\(10^{5} \div 10^{2} = 10^{3}\)
Puissance de puissance\((a^{n})^{m} = a^{nm}\)\((10^{2})^{3} = 10^{6}\)
Exposant négatif\(a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}\)\(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\)
Produit de bases\((ab)^{n} = a^{n}b^{n}\)\((2\times 5)^{3} = 1\,000\)

Modèle (concours 2025, Q62). \(G = \dfrac{4\times10^{5} \times 5\times10^{2} \times 2^{-3}}{2^{-5} \times 20 \times \left(10^{2}\right)^{3}}\)

  • Numérateur : \(4 \times 5 = 20\) ; \(10^{5} \times 10^{2} = 10^{7}\) ; donc \(20 \times 10^{7} \times 2^{-3} = \dfrac{20 \times 10^{7}}{8} = 2{,}5 \times 10^{7}\).
  • Dénominateur : \(\left(10^{2}\right)^{3} = 10^{6}\) ; \(2^{-5} = \dfrac{1}{32}\) ; donc \(\dfrac{20 \times 10^{6}}{32} = 0{,}625 \times 10^{6}\).
  • \(G = \dfrac{2{,}5 \times 10^{7}}{0{,}625 \times 10^{6}} = 4 \times 10 = 40\).
💡 Méthode : regroupez les coefficients (\(4\times5\), \(20\)), les puissances de 10 et les puissances de 2 séparément, puis simplifiez avant de calculer. Le piège est de calculer \(2^{-5}\) comme \(-32\) ou \(2^{-3}\) comme \(-8\).

3. Encadrements et inéquations

Modèle (concours 2025, Q63). \(-\dfrac{2}{3} \le \dfrac{1-2a}{6} \le \dfrac{1}{2}\).

  1. On multiplie par \(6\) (nombre positif : le sens ne change pas) : \(-4 \le 1 - 2a \le 3\).
  2. On soustrait \(1\) : \(-5 \le -2a \le 2\).
  3. On divise par \(-2\) (nombre négatif : le sens s'inverse) : \(-1 \le a \le \dfrac{5}{2}\).
  • Règle d'or : multiplier ou diviser par un négatif inverse les deux inégalités d'un encadrement.
  • Vérification : testez une valeur de l'intervalle (\(a = 0\) : \(\dfrac{1-0}{6} = \dfrac{1}{6} \in \left[-\dfrac{2}{3}\,;\,\dfrac{1}{2}\right]\)) et une valeur hors de l'intervalle.

4. Racines carrées

  • \(\sqrt{a \times b} = \sqrt{a} \times \sqrt{b}\) pour \(a, b \ge 0\). Donc \(\sqrt{45} = 3\sqrt{5}\) et \(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\).
  • \(\sqrt{a + b} \ne \sqrt{a} + \sqrt{b}\) : \(\sqrt{9 + 16} = 5\), alors que \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 7\).
  • \((\sqrt{a} - \sqrt{b})(\sqrt{a} + \sqrt{b}) = a - b\).

5. Équations et identités

TypeMéthodePiège
Produit nul\((x-2)(x+2) = 3(x-2)\) : on factorise, on ne simplifie pas par \((x-2)\)Perdre la solution \(x = 2\)
FractionsMultiplier par le PPCM des dénominateursOublier de multiplier le second membre
Valeur absolue\(|u| = k\) équivaut à \(u = k\) ou \(u = -k\)Ne garder qu'une solution
Système \(2\times2\)Substitution ou combinaisonErreur de signe en soustrayant
Identités\((a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}\)Oublier le double produit

6. Stratégie pour le choix E

  • Calculez toujours le résultat avant de regarder les choix. Si votre résultat n'apparaît pas de A à D, la réponse est E.
  • Les distracteurs reprennent les erreurs de signe, d'ordre des opérations et d'inversion d'inégalité : un résultat « presque juste » est souvent un piège.
  • Vérifiez par un test numérique ou par un ordre de grandeur avant de cocher.
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Les items de géométrie, de mesure et de statistique du concours sont des applications directes de formules et de théorèmes, avec des distracteurs construits sur les confusions classiques : théorème et réciproque, aire et périmètre, unités (cm², cm³), moyenne et médiane. Ce chapitre rassemble les formules indispensables et les contrôles rapides.

1. Thalès, Pythagore et leurs réciproques

ÉnoncéConditionConclusion
Thalès\(M \in [AB]\), \(N \in [AC]\), \((MN) \parallel (BC)\)\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}\)
Réciproque de Thalès\(\dfrac{AM}{AB} = \dfrac{AN}{AC}\) (points alignés dans le même ordre)\((MN) \parallel (BC)\)
Pythagore\(ABC\) rectangle en \(A\)\(BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}\)
Réciproque de Pythagore\(BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}\)\(ABC\) est rectangle en \(A\)
  • Pour démontrer qu'un triangle est rectangle, on utilise la réciproque. Triplets à connaître : \((3,4,5)\), \((5,12,13)\), \((8,15,17)\), \((7,24,25)\).
  • Exemple : \(AM = 4\), \(AB = 10\), \(AN = 6\) : \(\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{AM}{AB} = \dfrac{2}{5}\) donc \(AC = 15\).

2. Aires et volumes

FigureAireSolideVolume
Rectangle\(L \times l\)Parallélépipède\(L \times l \times h\)
Triangle\(\dfrac{b \times h}{2}\)Cylindre\(\pi r^{2} h\)
Trapèze\(\dfrac{(B + b) \times h}{2}\)Cône\(\dfrac{1}{3}\pi r^{2} h\)
Disque\(\pi r^{2}\)Pyramide\(\dfrac{1}{3} \times \mathcal{B} \times h\)
Losange\(\dfrac{D \times d}{2}\)Boule\(\dfrac{4}{3}\pi r^{3}\)
  • Réduction/agrandissement de rapport \(k\) : longueurs \(\times k\), aires \(\times k^{2}\), volumes \(\times k^{3}\).
  • Polygone régulier à \(n\) côtés : angle intérieur \(= \dfrac{(n - 2) \times 180^{\circ}}{n}\) (\(n = 9\) : \(140^{\circ}\)).
  • Périmètre du cercle : \(2\pi r\) ; longueur d'un arc de \(\alpha\) degrés : \(\dfrac{\alpha}{360} \times 2\pi r\).

3. Trigonométrie dans le triangle rectangle

  • \(\sin = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}\) ; \(\cos = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}\) ; \(\tan = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}\).
  • \(\cos^{2} x + \sin^{2} x = 1\). Valeurs : \(\sin 30^{\circ} = \dfrac{1}{2}\) ; \(\cos 60^{\circ} = \dfrac{1}{2}\) ; \(\tan 45^{\circ} = 1\).

4. Repère et transformations

  • Milieu de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A + x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A + y_B}{2}\right)\). Distance \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^{2} + (y_B - y_A)^{2}}\).
  • Translation de vecteur \(\vec{u}(u\,;\,v)\) : \((x\,;\,y) \mapsto (x + u\,;\,y + v)\). Symétrie centrale de centre \(O\) : \(M' = 2O - M\). Symétrie d'axe vertical (axe des ordonnées) : \((x\,;\,y) \mapsto (-x\,;\,y)\).
  • Droite par \(A\) et \(B\) : coefficient directeur \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\), puis \(y = mx + p\).

5. Mesure et conversions

  • \(1\ \text{m}^{3} = 1\,000\ \text{L}\) ; \(1\ \text{ha} = 10\,000\ \text{m}^{2}\) ; \(1\ \text{hm}^{2} = 1\ \text{ha}\) ; \(1\ \text{h} = 60\ \text{min} = 3\,600\ \text{s}\).
  • Vitesse : \(v = \dfrac{d}{t}\) ; \(36\ \text{km/h} = 10\ \text{m/s}\) (on divise par \(3{,}6\)).
  • Échelle \(\dfrac{1}{25\,000}\) : \(1\ \text{cm}\) sur la carte représente \(250\ \text{m}\).

6. Statistique

IndicateurCalcul
Moyenne\(\bar{x} = \dfrac{\sum n_i x_i}{N}\) (somme des valeur × effectif, divisée par l'effectif total)
Médianevaleur centrale de la série ordonnée (moyenne des deux valeurs centrales si l'effectif est pair)
Modevaleur d'effectif maximal
Étendueplus grande valeur \(-\) plus petite valeur
Fréquence\(f = \dfrac{n_i}{N}\) ; angle d'un secteur \(= f \times 360^{\circ}\)
💡 Avant de cocher : vérifiez l'unité demandée (cm², cm³, ha), la cohérence de l'ordre de grandeur et, si votre résultat est absent de A à D, choisissez E.
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Un test court de 10 questions, allant des notions essentielles à leur mise en application, avec correction expliquée.

10 questions 36 minutes environ
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