Version française de l’unité, calquée sur la composante « Didactique de la discipline » du descriptif CFIE 2025 (collège), dont la langue d’épreuve est le français : les quatorze concepts didactiques (situation, dévolution, contrat, transposition, obstacle, praxéologie…), l’enseignement de la mathématique, la planification et la gestion d’une leçon, puis l’évaluation, l’analyse des erreurs et la remédiation.
Ce chapitre ouvre le premier domaine du descriptif, Les concepts didactiques (15 %), dont la liste compte quatorze notions. Il traite les six qui structurent toute analyse d’une séance : situation didactique, dévolution, contrat didactique, triangle didactique, transposition didactique et variable didactique. Le chapitre suivant traite les huit autres.
Une situation didactique est une situation construite par l’enseignant pour permettre à l’élève d’acquérir un savoir précis. Dans la théorie des situations de Guy Brousseau, elle contient en son cœur une situation adidactique : un moment où l’élève agit sur un problème sans que l’enseignant lui indique la réponse, et où c’est le « milieu » (le matériel, les règles, la rétroaction) qui lui renvoie l’information sur la validité de ses essais.
| Phase | Ce que fait l’élève | Exemple en 1re année du collège |
|---|---|---|
| Action | Agit sur le problème, essaie, ajuste | Reproduire une figure avec des instruments, sans consigne de construction |
| Formulation | Explicite sa stratégie à un pair, avec un langage partagé | Rédiger un message pour qu’un camarade reproduise la figure sans la voir |
| Validation | Argumente, prouve, accepte ou rejette une affirmation | Confronter les figures et expliquer pourquoi deux constructions diffèrent |
| Institutionnalisation | L’enseignant donne le statut de savoir à ce qui a été trouvé | Énoncer la propriété et la nommer |
La dévolution est le processus par lequel l’enseignant fait en sorte que l’élève accepte la responsabilité de la situation d’apprentissage, comme un problème qui est devenu le sien, et non comme une tâche imposée. Sans dévolution, la situation reste une consigne exécutée pour faire plaisir à l’enseignant. Les gestes d’enseignement qui la favorisent : un énoncé accessible dont l’enjeu est compréhensible, des premiers essais possibles avec les connaissances disponibles, une consigne qui ne dévoile pas la méthode.
Le contrat didactique désigne l’ensemble des attentes, pour l’essentiel implicites, qui lient l’enseignant et les élèves à propos du savoir en jeu : ce que chacun est censé faire, dire, attendre de l’autre. On ne le voit presque jamais, sauf lorsqu’il est rompu. Exemple classique : « Sur un bateau il y a 26 moutons et 10 chèvres ; quel est l’âge du capitaine ? » Beaucoup d’élèves répondent 36 : ils respectent la clause implicite « un problème posé en classe a une solution et utilise toutes les données ».
| Effet de contrat | Mécanisme |
|---|---|
| Effet Topaze | L’enseignant, pour obtenir la bonne réponse, la suggère de plus en plus ; le savoir disparaît derrière l’aide |
| Effet Jourdain | L’enseignant reconnaît une connaissance savante dans un comportement banal de l’élève, pour éviter le débat de fond |
| Glissement métacognitif | Une heuristique ou un moyen de résolution est pris à tort pour l’objet d’enseignement lui-même |
| Usage abusif de l’analogie | L’analogie devient le substitut de l’apprentissage au lieu d’en être un appui |
Le triangle didactique représente le système d’enseignement par trois pôles : le savoir, l’enseignant et l’élève. Chaque côté est un rapport : l’enseignant enseigne (relation enseignant–savoir), l’élève apprend (élève–savoir), l’enseignant forme (enseignant–élève). Selon l’accent mis sur un côté, on décrit un modèle d’enseignement : centré sur le savoir (transmissif), sur la relation (affective), ou sur l’apprentissage de l’élève. Le « triangle pédagogique » de Houssaye reprend les mêmes pôles et nomme les trois côtés : enseigner, former, apprendre.
Théorisée par Yves Chevallard (1985), elle décrit le travail qui transforme un savoir savant (celui des mathématiciens) en savoir à enseigner (programmes, manuels), puis en savoir enseigné (ce qui se passe réellement en classe). Ce travail est nécessaire et inévitable, mais produit des déformations : simplification, décontextualisation, découpage en leçons, « dogmatisation ». Exemple : la notion de limite, riche en histoire et en difficultés, devient une suite de règles de calcul.
Une variable didactique est un élément de la situation que l’enseignant peut modifier et dont les valeurs font changer la stratégie de résolution optimale, donc le savoir mobilisé. Toute variable de la situation n’est pas une variable didactique : changer la couleur de la figure ne change rien ; changer la taille des nombres change la procédure.
Suite du domaine Les concepts didactiques (15 %). Les huit notions de ce chapitre complètent la liste officielle : obstacle épistémologique, jeux de cadres et registres, dialectique outil-objet, instrumentation, topogenèse, chronogenèse, noosphère, praxéologie. Elles se répartissent en trois familles : le fonctionnement des connaissances chez l’élève, les outils, et l’organisation de l’institution.
Notion empruntée à Bachelard et adaptée à l’enseignement par Brousseau : un obstacle est une connaissance qui a été efficace dans un domaine, mais qui devient fausse ou inadaptée hors de ce domaine ; il résiste aux contre-exemples et réapparaît après avoir été rejeté. Il est dit épistémologique quand on en retrouve la trace dans l’histoire du concept : il est alors constitutif du savoir et ne peut être évité.
| Connaissance efficace… | …devenue obstacle quand… |
|---|---|
| « Multiplier, c’est agrandir » | on multiplie par un nombre compris entre 0 et 1 |
| « Diviser, c’est partager en parts plus petites » | on divise par un nombre inférieur à 1 |
| « Un nombre est suivi d’un seul autre » (successeur) | on rencontre les décimaux, denses |
| « Le signe = annonce un résultat » | on manipule des équations |
Distinguer : obstacle didactique (venant d’un choix d’enseignement, évitable), obstacle ontogénique (lié au développement de l’élève) et obstacle épistémologique (lié au savoir lui-même). Une erreur n’est donc pas toujours une faute : elle peut être la trace d’un obstacle, ce qui commande de la traiter autrement (chapitre 5).
Notion de Régine Douady : un cadre est un domaine de mathématiques avec ses objets, ses relations et ses images mentales (cadre numérique, algébrique, géométrique, graphique…). Un jeu de cadres consiste à faire passer un problème d’un cadre à un autre pour profiter des outils de l’autre : une équation est « lue » comme une intersection de droites, une propriété géométrique est traduite en égalité algébrique. Les registres de représentation sémiotique (Raymond Duval) sont les systèmes de signes dans lesquels un objet s’exprime : langue naturelle, écriture algébrique, figure, graphique, tableau.
Toujours chez Douady : un concept fonctionne d’abord comme un outil (il sert à résoudre un problème, souvent implicitement), puis devient un objet (identifié, nommé, étudié pour lui-même) et peut alors servir de nouveau comme outil dans un autre problème. Le va-et-vient est la « dialectique ». Elle structure une séquence en phases : problème avec ancien savoir, recherche d’un outil nouveau, explicitation et institutionnalisation, familiarisation, nouveau problème.
Dans l’approche instrumentale de Rabardel, un artefact (calculatrice, logiciel de géométrie, règle) ne devient un instrument qu’avec des schèmes d’utilisation construits par l’élève. Deux processus : l’instrumentation (l’artefact façonne l’activité du sujet : ce que l’outil permet ou contraint) et l’instrumentalisation (le sujet façonne l’artefact : personnalisation, détournement). Conséquence didactique : on n’apprend pas à utiliser un logiciel « une fois pour toutes » ; l’appropriation fait partie de l’apprentissage.
| Notion | Idée centrale | Question que l’on pose |
|---|---|---|
| Topogenèse | Répartition des « places » : qui, de l’enseignant ou de l’élève, est responsable de quel élément du savoir | Qui fait quoi dans l’avancée du savoir ? |
| Chronogenèse | Production du temps didactique : l’ordre et le rythme dans lesquels le savoir avance | À quel moment et à quelle vitesse ? |
| Noosphère | Sphère de ceux qui « pensent » l’enseignement : concepteurs de programmes, experts, auteurs de manuels, inspecteurs, parents, associations | Qui décide de ce qui doit être enseigné ? |
| Praxéologie | Unité d’analyse d’une activité mathématique : un type de tâches, une technique, une technologie (discours qui justifie la technique) et une théorie | Quelle tâche, quelle technique, quelle justification ? |
La topogenèse et la chronogenèse (avec la mésogenèse, genèse du milieu) sont trois dimensions d’analyse de la théorie anthropologique du didactique de Chevallard. La praxéologie distingue le savoir-faire (praxis : type de tâches + technique) et le savoir (logos : technologie + théorie). Exemple : type de tâches « résoudre une équation du premier degré » ; technique : isoler l’inconnue en conservant l’égalité ; technologie : propriétés de l’égalité ; théorie : structure du corps des réels.
| Notion | Auteur le plus associé | À retenir en une ligne |
|---|---|---|
| Situation didactique | Brousseau | Situation construite pour faire acquérir un savoir ; cœur adidactique |
| Dévolution | Brousseau | L’élève prend en charge le problème |
| Obstacle épistémologique | Bachelard, Brousseau | Connaissance efficace ailleurs, fausse ici, résistante |
| Jeux de cadres et registres | Douady, Duval | Changer de cadre ou de registre pour faire avancer |
| Dialectique outil-objet | Douady | Un concept est outil puis objet puis outil |
| Instrumentation | Rabardel | L’artefact devient instrument par les schèmes d’usage |
| Topogenèse | Chevallard | Partage des places entre professeur et élèves |
| Noosphère | Chevallard | Ceux qui pensent l’enseignement |
| Praxéologie | Chevallard | Tâche, technique, technologie, théorie |
| Transposition didactique | Chevallard | Du savoir savant au savoir enseigné |
| Contrat didactique | Brousseau | Attentes implicites réciproques |
| Triangle didactique | — | Savoir, enseignant, élève |
| Variable didactique | Brousseau | Valeur dont le changement modifie la stratégie optimale |
| Chronogenèse | Chevallard | Production du temps didactique |
Ce chapitre traite le deuxième domaine du descriptif, L’enseignement de la mathématique (15 %), en sept points : l’évolution des contenus et des approches, l’étude et la comparaison des situations, les problèmes didactiques, la modélisation, la démonstration, et le suivi des nouveautés. La lecture attendue n’est pas historique pour elle-même : elle vise à situer les choix d’un programme et à justifier une décision de classe.
Les contenus enseignés ont évolué selon les finalités qu’on assigne à l’école. Trois grandes tendances, observées dans de nombreux systèmes éducatifs :
| Tendance | Caractéristique | Limite souvent relevée |
|---|---|---|
| Contenus classiques | Calcul, géométrie euclidienne, règles de la pratique | Peu de liens entre domaines |
| « Mathématiques modernes » (années 1960-70) | Ensembles, structures, formalisme tôt | Sens perdu pour beaucoup d’élèves |
| Retour aux problèmes et aux compétences | Résolution de problèmes, modélisation, usage d’outils | Risque d’une compétence sans savoirs stabilisés |
L’orientation de 2009 pour le collège marocain s’inscrit dans la dernière : elle fait de la résolution de problèmes la méthode privilégiée à toutes les étapes de l’apprentissage et organise le programme en trois axes (nombres, activités géométriques, organisation de données et fonctions numériques), la proportionnalité étant un thème transversal.
| Approche | Rôle de l’enseignant | Rôle de l’élève |
|---|---|---|
| Transmissive (exposé, exercices d’application) | Expose, démontre | Écoute, imite, s’entraîne |
| Par objectifs (behavioriste) | Découpe le savoir en objectifs observables | Progresse par étapes, renforcement |
| Constructiviste / socioconstructiviste | Organise des situations-problèmes, guide, institutionnalise | Construit ses connaissances, confronte ses procédures à celles des pairs |
| Par compétences | Propose des situations complexes, évalue des compétences | Mobilise des ressources pour résoudre des situations nouvelles |
Comparer deux situations, c’est conduire pour chacune une analyse a priori : quelle tâche, quels savoirs mobilisés, quelles procédures possibles, quelles difficultés et obstacles prévisibles, quelles variables didactiques, quelles rétroactions du milieu. Grille de comparaison :
Un problème didactique est une difficulté récurrente d’enseignement et d’apprentissage, qui ne se réduit ni à un défaut de l’élève ni à un défaut de l’enseignant. Exemples classiques :
Modéliser, c’est traduire une situation extra-mathématique (ou intra-mathématique) en un modèle mathématique, le traiter, puis revenir à la situation. Le cycle : situation réelle → simplification, hypothèses → modèle mathématique → traitement → résultats → interprétation et validation dans la situation. Au collège, une situation de proportionnalité, un problème de tarifs modélisé par une fonction affine, ou un problème de partage modélisé par une équation en sont des exemples. L’orientation de 2009 range parmi les stratégies de résolution la représentation par un tableau ou un graphique et le recours à un modèle.
Le passage de l’argumentation à la preuve est un apprentissage de long terme. Nicolas Balacheff distingue les preuves pragmatiques (appui sur l’exemple, l’expérience, la mesure) et les preuves intellectuelles (appui sur des propriétés énoncées et des raisonnements déductifs). Les orientations de 2009 acceptent des « raisonnements plausibles » comme point de départ, sans exiger une démonstration rigoureuse d’emblée.
| Niveau | Ce que dit l’élève |
|---|---|
| Empirisme naïf | « J’ai testé trois cas, ça marche » |
| Expérience cruciale | « J’ai testé un cas très grand ; si ça marche là, ça marche toujours » |
| Exemple générique | « Voilà pourquoi ça marche pour n = 5, et ce raisonnement ne dépend pas de 5 » |
| Expérience mentale / déduction | Raisonnement général, indépendant des exemples |
En géométrie, la figure joue un double rôle : support du raisonnement et source d’erreurs (lecture perceptive d’une propriété que le texte ne donne pas).
Suivre les nouveautés relève du développement professionnel : textes officiels (orientations, cadres de référence, notes), publications de didactique (revues et travaux de recherche), résultats d’évaluations nationales et internationales, outils numériques. Le critère de choix reste le même : une nouveauté est retenue si elle répond à un problème didactique identifié dans sa classe.
Le troisième domaine du descriptif, Planification et gestion d’une leçon, pèse 35 % de la composante didactique et compte douze points. Il se lit comme un cycle : cadrer (curriculum, épistémologie, orientations), concevoir (apprentissage, méthodologie, prérequis, variables, activités), conduire (suivi, soutien) et outiller (manuel, technologies).
Un programme est la liste des contenus à enseigner, par niveau. Un curriculum est plus large : il articule les finalités, le profil de sortie, les contenus, les méthodes, l’évaluation et les ressources. Le premier répond à « quoi enseigner ? », le second à « pourquoi, quoi, comment et comment vérifier ? ».
C’est la réflexion sur la nature des mathématiques, la genèse de leurs concepts et le statut de la preuve. Elle sert à l’enseignant à reconnaître un obstacle épistémologique, à dater un concept dans son histoire et à évaluer le sens d’un choix de présentation. Exemple : les nombres négatifs ont mis des siècles à être acceptés ; on ne s’étonne donc pas des résistances des élèves à les comprendre.
Au collège, le texte de référence cité par le descriptif est le document « Programmes et orientations pédagogiques — collège — mathématiques » d’août 2009 ; pour le lycée, celui de novembre 2007. Quelques lignes directrices tirées du texte de 2009 :
| Modèle | Idée | Conséquence en classe |
|---|---|---|
| Behavioriste | On apprend par répétition renforcée | Petits pas, exercices répétés, feedback immédiat |
| Constructiviste (Piaget) | On construit en s’adaptant à une perturbation (assimilation, accommodation) | Situation qui fait vaciller les conceptions |
| Socioconstructiviste (Vygotski) | On apprend avec les autres, dans sa zone proximale de développement | Travail en groupe, étayage |
Au début d’une séquence, une courte évaluation diagnostique (quelques questions ciblées) identifie les connaissances nécessaires qui ne sont pas acquises. Elle donne lieu à une remise à niveau immédiate ou à une différenciation. L’orientation de 2009 présente l’évaluation « prédictive » ou diagnostique comme celle qui se fait au début de chaque étape nouvelle.
Choisir la valeur d’une variable, c’est choisir la procédure qu’on veut faire émerger ou rendre insuffisante : taille des nombres, nature des nombres (entiers, décimaux), présence ou absence de la figure, nombre d’étapes, outils autorisés. La mise en œuvre consiste à prévoir plusieurs valeurs pour différencier ou pour faire évoluer une même situation.
Critères d’une bonne activité : sens (l’enjeu est compréhensible), accessibilité (les connaissances disponibles permettent d’entrer), résistance (la procédure de base ne suffit pas), validation possible par l’élève (le milieu renvoie une information), institutionnalisation prévisible (le savoir visé est identifiable).
Pendant la séance : circuler, observer les procédures, relever les erreurs significatives, relancer sans dévoiler, choisir les productions à mettre en commun. L’évaluation formative n’est pas notée : elle fournit une rétroaction qui permet d’ajuster l’enseignement et l’apprentissage en cours de route.
Soutien ciblé sur les difficultés identifiées : reprise d’une notion avec un autre support, activités différenciées, tutorat entre pairs, exercices supplémentaires gradués (traités au chapitre 5).
Le manuel est un instrument pour l’élève (apprentissage autonome, révision à la maison) et pour l’enseignant (référence organisée du programme). Il ne remplace pas la préparation : l’enseignant sélectionne, adapte, réordonne les activités et ne laisse pas le manuel consommer l’essentiel du temps de classe sur de simples applications.
Les orientations de 2009 attribuent aux outils informatiques et à la calculatrice des fonctions précises : alléger des calculs, vérifier des résultats, formuler et éprouver des conjectures, traiter des problèmes à calculs longs, produire des tableaux, des courbes et des figures. Un logiciel de géométrie dynamique ou un tableur sont des exemples d’outils. Rappel du chapitre 2 : un artefact ne devient instrument que par l’appropriation de schèmes d’usage.
Le cahier de textes consigne le contenu des séances et sert de mémoire de l’activité de la classe ; le cahier de l’élève doit être tenu avec soin (organisation, figures, tableaux) et contrôlé par l’enseignant, avec corrections et remarques formatives.
Le quatrième domaine, Évaluation, pèse lui aussi 35 % de la composante didactique : c’est, avec la planification, le domaine où se gagnent le plus de points. Il comprend douze points qui se répartissent en trois blocs : concevoir un instrument de mesure, évaluer (apprentissages, pratiques), traiter les erreurs et remédier.
Elle intervient à la fin d’une étape, d’un semestre ou d’une année pour établir un bilan et prendre une décision (note, passage, orientation). Elle diffère de l’évaluation diagnostique (début) et formative (pendant).
| Fonction | Moment | Finalité |
|---|---|---|
| Diagnostique | Avant | Repérer prérequis et représentations |
| Formative | Pendant | Réguler l’apprentissage et l’enseignement |
| Sommative | Après | Faire le bilan, certifier, décider |
Le devoir surveillé et le devoir à la maison n’ont pas la même fonction : le premier mesure ce que l’élève fait seul, dans un temps donné ; le second est surtout un outil d’entraînement et de réinvestissement.
| Qualité | Définition | Indicateur usuel |
|---|---|---|
| Validité | L’épreuve mesure bien ce qu’elle prétend mesurer | Adéquation au tableau de spécifications (validité de contenu) |
| Fidélité | Les résultats sont stables, reproductibles | Coefficient de cohérence interne (alpha de Cronbach), test-retest |
| Difficulté d’un item | Proportion d’élèves qui réussissent | Indice p = réussites ÷ effectif |
| Discrimination d’un item | Capacité de l’item à séparer forts et faibles | Différence de réussite entre le groupe fort et le groupe faible |
Elle porte sur les acquis de l’élève (connaissances, procédures, compétences) à l’aide de critères explicites. On distingue l’évaluation normative (on compare l’élève au groupe) de l’évaluation critériée (on compare l’élève à un seuil de maîtrise fixé à l’avance).
Elle porte sur l’action de l’enseignant : cohérence entre objectifs, activités et évaluations ; gestion du temps ; qualité des consignes ; différenciation. Ses outils : grille d’observation, analyse de séance, auto-analyse, résultats des élèves lus comme un indicateur et non comme un jugement.
Une situation-problème est une situation nouvelle pour l’élève, porteuse de sens, qui lui impose de mobiliser plusieurs ressources (connaissances, procédures) pour la résoudre, et qui est évaluée selon des critères. Pour évaluer, on choisit l’activité selon l’objet évalué : exercice isolé pour une procédure, problème pour une compétence, production écrite pour un raisonnement, oral pour l’argumentation.
Une erreur est un indicateur de la procédure ou de la conception de l’élève. L’analyse suit trois temps : repérer l’erreur, chercher la logique qui la rend cohérente pour l’élève, classer son origine.
| Origine | Exemple |
|---|---|
| Étourderie, calcul | 2 × 7 = 12 dans un calcul correct par ailleurs |
| Lecture de l’énoncé, langage | Confusion entre « de plus » et « fois plus » |
| Procédure mal apprise | Oubli de changer le signe en passant un terme de l’autre côté |
| Conception erronée / obstacle | (a + b)² = a² + b², « multiplier agrandit » |
| Contrat didactique | Utiliser toutes les données, même inutiles |
Le traitement dépend de l’origine : une étourderie se corrige par l’autocontrôle ; une procédure par l’entraînement guidé ; une conception par une situation de déstabilisation (cas qui contredit la conception) suivie d’une institutionnalisation. Corriger en donnant simplement la bonne réponse est le traitement le moins efficace pour une erreur conceptuelle.
Elles visent des difficultés identifiées chez des élèves précis : reprise avec un autre support, exercices gradués, tutorat entre pairs, groupes de besoin. Le soutien ne consiste pas à répéter la même explication plus lentement.
Il adapte l’un des éléments : contenus, processus (consignes, aides, outils), productions attendues ou structures (groupes, temps). Les variables didactiques (chapitre 4) en sont un levier : une même situation avec des valeurs numériques différentes.
| Type | Moment | Exemple |
|---|---|---|
| Immédiate | Pendant la séance, dès que l’erreur est repérée | Question de relance, contre-exemple, reformulation |
| Différée | Après analyse d’une évaluation ou en séance dédiée | Séance de soutien, fiche ciblée, activité de réinvestissement |
Le descriptif cite aussi, parmi ses documents d’appui, les cahiers de remédiation aux difficultés d’apprentissage (Direction des curricula, septembre 2020).
Un test court de 10 questions, allant des notions essentielles à leur mise en application, avec correction expliquée.
Les cinq chapitres suivent la composante « Didactique de la discipline » du descriptif de la matière Mathématiques, concours d’entrée au cycle de formation des inspecteurs de l’enseignement secondaire collégial (CNEE, 2025), dont la langue d’épreuve est le français.
| Chapitre | Domaine du descriptif | Poids |
|---|---|---|
| 1 et 2. Les concepts didactiques | Les concepts didactiques (14 notions) | 15 % |
| 3. L’enseignement de la mathématique | L’enseignement de la mathématique (7 points) | 15 % |
| 4. Planification et gestion d’une leçon | Planification et gestion d’une leçon (12 points) | 35 % |
| 5. Évaluation, erreurs, soutien et remédiation | Évaluation (12 points) | 35 % |
Descriptif officiel : Fiches de description des épreuves écrites — CFIE (session de juillet 2025), fiche Mathématiques, collège.
Texte de référence : Programmes et orientations pédagogiques — Collège — Mathématiques (août 2009).
Limites : les définitions et les noms d’auteurs (Brousseau, Chevallard, Douady, Duval, Rabardel, Balacheff) sont des repères de didactique générale ; le descriptif cite les notions mais n’en fournit pas la définition. Les exemples sont de EduConcours. Seuls les passages sur les orientations de 2009 (résolution de problèmes, sept compétences, types d’évaluation, outils) viennent du texte officiel. La fiche de 2022 cite d’autres notions (conception didactique, champ conceptuel, trame conceptuelle) qui ne figurent plus dans celle de 2025.
Des examens associés au concours de ce module.
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Commencer →Épreuve de mathématiques de la session d’octobre 2024, commune au cycle secondaire collégial et au cycle secondaire qualifiant. 60 questions à …
Commencer →اختبار مشترك في علوم التربية لفائدة مترشحي التعليم الثانوي التأهيلي والإعدادي، بجميع التخصصات — دورة أبريل 2024.
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